不是所有一阶导等于零的点都是极值点:也可能是拐点(函数凹凸性发生改变的点)

一、题目题目 - 荒原之梦

设 $F(x)$ $=$ $\int_{0}^{x}(x-2 t) f(x-t) \mathrm{d} t, f(x)$ 可导且 $f^{\prime}(x)$ $<$ $0$. 则可以得出关于函数 $F(x)$ 的极值和凹凸性上的哪些结论?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

令:

$$
k=x-t
$$

则:

$$
t=x-k \Rightarrow \mathrm{~ d} t=-\mathrm{~ d} k
$$

又:

$$
t \in(0, x) \Rightarrow
$$

$$
k \in(x, 0)
$$

于是:

$$
F(x)=\int_{0}^{x}(x-2 t) f(x-t) \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

$$
F(x)=-\int_{x}^{0}(x-2 x+2 k) f(k) \mathrm{~ d} k \Rightarrow
$$

$$
F(x)=\int_{0}^{x}(2 k-x) f(k) \mathrm{~ d} k \Rightarrow
$$

$$
F(x)=2 \int_{0}^{x} k f(k) \mathrm{~ d} k-x \int_{0}^{x} f(k) \mathrm{~ d} k
$$

进而:

$$
F^{\prime}(x)=2 x f(x)-\int_{0}^{x} f(k) \mathrm{~ d} k-x f(x) \Rightarrow
$$

$$
F^{\prime}(x)=x f(x)-\int_{0}^{x} f(k) \mathrm{~ d} k
$$

继续:

$$
F^{\prime \prime}(x)=f(x)+x f^{\prime}(x)-f(x)=x f^{\prime}(x)
$$

又:

$$
f^{\prime}(x)<0 \Rightarrow \begin{cases} & x<0 \Rightarrow F^{\prime \prime}(x)>0; \\
& x>0 \Rightarrow F^{\prime \prime}(x)<0.
\end{cases}
$$

从上面的结果中,我们可以得出如下结论:

曲线 $y=F(x)$ 在点 $(0,0)$ 的左侧是凹的, 右侧是凸的。

又:

$$
F^{\prime}(x)=0 \Rightarrow x=0
$$

$$
x=0 \Rightarrow F^{\prime \prime}(x)=0
$$

由于函数 $y=F(x)$ 在点 $x = 0$ 的左右两侧二阶导数值刚好相反,因此,$x = 0$ 是拐点,而不是极值点,函数在该点处既不取得极大值,也不取得极小值。


荒原之梦考研数学思维导图
荒原之梦考研数学思维导图

高等数学箭头 - 荒原之梦

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。

线性代数箭头 - 荒原之梦

以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。

特别专题箭头 - 荒原之梦

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。

荒原之梦考研数学网 | 让考场上没有难做的数学题!

荒原之梦网全部内容均为原创,提供了涵盖考研数学基础知识、考研数学真题、考研数学练习题和计算机科学等方面,大量精心研发的学习资源。

豫 ICP 备 17023611 号-1 | 公网安备 - 荒原之梦 豫公网安备 41142502000132 号 | SiteMap
Copyright © 2017-2024 ZhaoKaifeng.com 版权所有 All Rights Reserved.

Copyright © 2024   zhaokaifeng.com   All Rights Reserved.
豫ICP备17023611号-1
 豫公网安备41142502000132号

荒原之梦 自豪地采用WordPress