不是所有一阶导等于零的点都是极值点：也可能是拐点（函数凹凸性发生改变的点）

一、题目

设 $F(x)$ $=$ $\int_{0}^{x}(x-2 t) f(x-t) \mathrm{d} t, f(x)$ 可导且 $f^{\prime}(x)$ $<$ $0$. 则可以得出关于函数 $F(x)$ 的极值和凹凸性上的哪些结论？

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二、解析

令：

$$
k=x-t
$$

则：

$$
t=x-k \Rightarrow \mathrm{~ d} t=-\mathrm{~ d} k
$$

又：

$$
t \in(0, x) \Rightarrow
$$

$$
k \in(x, 0)
$$

于是：

$$
F(x)=\int_{0}^{x}(x-2 t) f(x-t) \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

$$
F(x)=-\int_{x}^{0}(x-2 x+2 k) f(k) \mathrm{~ d} k \Rightarrow
$$

$$
F(x)=\int_{0}^{x}(2 k-x) f(k) \mathrm{~ d} k \Rightarrow
$$

$$
F(x)=2 \int_{0}^{x} k f(k) \mathrm{~ d} k-x \int_{0}^{x} f(k) \mathrm{~ d} k
$$

进而：

$$
F^{\prime}(x)=2 x f(x)-\int_{0}^{x} f(k) \mathrm{~ d} k-x f(x) \Rightarrow
$$

$$
F^{\prime}(x)=x f(x)-\int_{0}^{x} f(k) \mathrm{~ d} k
$$

继续：

$$
F^{\prime \prime}(x)=f(x)+x f^{\prime}(x)-f(x)=x f^{\prime}(x)
$$

又：

$$
f^{\prime}(x)<0 \Rightarrow \begin{cases} & x<0 \Rightarrow F^{\prime \prime}(x)>0; \\
& x>0 \Rightarrow F^{\prime \prime}(x)<0.
\end{cases}
$$

从上面的结果中，我们可以得出如下结论：

曲线 $y=F(x)$ 在点 $(0,0)$ 的左侧是凹的, 右侧是凸的。

又：

$$
F^{\prime}(x)=0 \Rightarrow x=0
$$

$$
x=0 \Rightarrow F^{\prime \prime}(x)=0
$$

由于函数 $y=F(x)$ 在点 $x = 0$ 的左右两侧二阶导数值刚好相反，因此，$x = 0$ 是拐点，而不是极值点，函数在该点处既不取得极大值，也不取得极小值。

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