求解一点处的导数时，不一定要用定义法

一、题目

已知：

$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\arctan x}{x}, & x \neq 0, \\ 1, & x=0,\end{array}\right.
$$

则 $f^{\prime}(x)$ $=$ $?$

难度评级：

二、解析

当 $x \neq 0$ 时（按照求导公式，直接计算即可）：

$$
f^{\prime}(x)=\frac{\frac{1}{1+x^{2}} \cdot x-\arctan x}{x^{2}} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(x)=\frac{x-\left(1+x^{2}\right) \arctan x}{x^{2}\left(1+x^{2}\right)}.
$$

当 $x=0$ 时（使用导数的定义求解一点处的导数）：

$$
f^{\prime}(0)=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(0)=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{\arctan x}{x}-1}{x} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(0)=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\arctan x-x}{x^{2}} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(0)=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{1+x^{2}}-1}{2 x} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(0)=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1-1-x^{2}}{2 x\left(1+x^{2}\right)}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{-x^{2}}{2 x}=0
$$

综上可知：

$$
f^{\prime}(x)=
\begin{cases}
& \frac{x-\left(1+x^{2}\right) \arctan x}{x^{2}\left(1+x^{2}\right)}, & x \neq 0 \\
& 0, & x=0
\end{cases}
$$

当 $x=0$ 时还有一种解法，那就是使用导数存在的条件进行求解（函数在该点处连续，且左导数等于右导数）：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\arctan x}{x}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x}{x}=1=f(0)
$$

从上面的计算结果可知，函数 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续。

又已知：

$$
f^{\prime}(x)=\frac{x-\left(1+x^{2}\right) \arctan x}{x^{2}\left(1+x^{2}\right)} \Rightarrow
$$

于是：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x-\left(1+x^{2}\right) \arctan x}{x^{2}\left(1+x^{2}\right)}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x-\arctan x-x^{2} \arctan x}{x^{2}+x^{4}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x-\arctan x-x^{2} \arctan x}{x^{2}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1-\frac{1}{1+x^{2}}-2 x \arctan x-\frac{x^{2}}{1+x^{2}}}{2 x}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^{2}}{1+x^{2}}-2 x \arctan x-\frac{x^{2}}{1+x^{2}}}{2 x}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{-2 x \arctan x}{2 x}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{-2 x^{2}}{2 x}=0
$$

即：

$$
f^{\prime}\left(0^{+}\right)=f^{\prime}\left(0^{-}\right) \Rightarrow f^{\prime}(0)
$$

于是：

$$
f^{\prime}(0)=0.
$$

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