二重积分中经常使用转变积分区域的形式去根号

一、题目

已知积分区域 $D$ $=$ $\{(x, y) \mid \sqrt{|x|}+\sqrt{|y|} \leqslant 1 \}$

则：

$$
I=\iint_{D}(\sqrt{|x|}+\sqrt{|y|}) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y = ?
$$

难度评级：

二、解析

对于题目中 $\sqrt{|x|}+\sqrt{|y|} \leqslant 1$ 所确定的积分区域，我们可以通过寻找一些特值点的方式确定其大致形状，例如：

$$
(0, 1), \quad (1,0), \quad (\frac{1}{4}, \frac{1}{4}), \quad \cdots
$$

据此，我们就可以绘制出该积分区域 $D$（阴影部分）以及该积分区域在第一象限的部分 $D_{1}$ 区域：

又因为被积函数关于 $x$ 和 $y$ 都是偶函数，且积分区域 $D$ 关于 $x$ 轴和 $y$ 轴都对称，因此：

$$
\iint_{D}(\sqrt{|x|}+\sqrt{|y|}) \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=4 \iint_{D_{1}}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$

又因为积分区域关于 $y = x$ 对称，因此：

$$
\int_{D_{1}} \sqrt{x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_{D_{1}} \sqrt{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$

$\iint_{D_{1}}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ $=$ $\frac{1}{2}[\iint_{D_{1}}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ $+$ $\int_{D_{1}}(\sqrt{y}+\sqrt{x}) \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y]$

于是：

$$
\iint_{D}(\sqrt{|x|}+\sqrt{|y|}) \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=8 \iint_{D} \sqrt{x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \Rightarrow
$$

$\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ $\Rightarrow$ $y = (1-\sqrt{x})^{2}$.

$$
8 \int_{0}^{1} \sqrt{x} \mathrm{~d} x \int_{0}^{(1-\sqrt{x})^{2}} 1 \mathrm{~d} y \Rightarrow
$$

解法 1

$$
8 \int_{0}^{1} \sqrt{x}(1-\sqrt{x})^{2} \mathrm{~d} x \Rightarrow
$$

$$
8 \int_{0}^{1} \sqrt{x}(1+x-2 \sqrt{x}) \mathrm{~d} x \Rightarrow
$$

$$
8 \int_{0}^{1}\left(x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{3}{2}}-2 x\right) \mathrm{~d} x \Rightarrow
$$

$$
8\left[\left.\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}\right|_{0} ^{1}+\left.\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}\right|_{0} ^{1}-\left.x^{2}\right|_{0} ^{1}\right] \Rightarrow
$$

$$
8\left[\frac{2}{3}+\frac{2}{5}-1\right]=8\left(\frac{16}{15}-\frac{15}{15}\right)=\frac{8}{15}.
$$

解法 2

已知：

$$
8 \int_{0}^{1} \sqrt{x}(1-\sqrt{x})^{2} \mathrm{~d} x.
$$

令：

$$
\sqrt{x}=\sin ^{2} t \Rightarrow x=\sin ^{4} t \Rightarrow
$$

又：

$$
x \in(0,1) \Rightarrow t \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right) \Rightarrow
$$

$$
\mathrm{~d} x=4 \sin ^{3} t \cos t \mathrm{~d} t
$$

于是：

$$
8 \int_{0}^{1} \sqrt{x}(1-\sqrt{x})^{2} \mathrm{~d} x \Rightarrow
$$

$$
8 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2} t \cos ^{4} t \cdot 4 \sin ^{3} t \cos t \mathrm{~d} t \Rightarrow
$$

$$
4 \times 8 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{5} t \cos ^{5} t \mathrm{~d} t.
$$

又：

$$
\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{2} \sin 2 \alpha=\sin \alpha \cos \alpha \Rightarrow
$$

$$
\left(\frac{1}{2} \sin 2 \alpha\right)^{5}=(\sin \alpha \cos \alpha)^{5}.
$$

于是：

$$
4 \times 8 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{5} t \cos ^{5} t \mathrm{~d} t \Rightarrow
$$

$$
4 \times 8 \int_{0}^{\pi} \frac{1}{2^{5}} \sin ^{5} 2 t \mathrm{~d} t \Rightarrow
$$

$$
\frac{4 \times 8}{2^{5}} \cdot \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \sin ^{5} 2 t \mathrm{~d} (2 t) \Rightarrow
$$

$$
\frac{8}{2^{4}} \int_{0}^{\pi} \sin ^{5} \theta \mathrm{~d} \theta \Rightarrow 几何意义 \Rightarrow
$$

$$
\frac{8}{2^{4}} \times 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{5} \theta \mathrm{~d} \theta \Rightarrow 洛必达 \Rightarrow
$$

$$
\frac{8}{2^{3}} \times \frac{4}{5} \times \frac{2}{3} \times 1=\frac{2^{3} \times 2^{2} \cdot 2^{1}}{2^{3} \times 15}=\frac{8}{15}.
$$

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