当积分符号无法通过积分运算消去时，就要尝试通过求导运算消去

一、题目

已知 $\int x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ $=$ $\arctan x + C$, 则 $f(x) = ?$

难度评级：

二、解析

观察可知，由于在本题中，被积函数并不是一个已知的确定函数，因此，无法通过常规的积分运算消去积分符号——

只能尝试使用求导运算消去积分符号，先求出 $f^{\prime}(x)$, 之后再通过对 $f^{\prime}(x)$ 的积分运算，求解出 $f(x)$.

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$$
\Big[ \int x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x \Big]^{\prime} = x f^{\prime}(x) = (\arctan x)^{\prime} \Rightarrow
$$

$$
x f^{\prime}(x) = \frac{1}{1 + x^{2}} \Rightarrow
$$

Next

$$
f^{\prime}(x) = \frac{1}{x (1 + x^{2}) } \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(x) = \frac{1}{x} – \frac{x}{1 + x^{2} } \Rightarrow
$$

$$
\int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x = \int \Big( \frac{1}{x} – \frac{x}{1 + x^{2}} \Big) \mathrm{d} x \Rightarrow
$$

$$
\int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x = \ln |x| – \frac{1}{2} \ln |1 + x^{2}| + C \Rightarrow
$$

$$
\int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x = \ln |x| – \ln \sqrt{1 + x^{2}} + C \Rightarrow
$$

Next

$$
\int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x = \ln \frac{|x|}{\sqrt{1 + x^{2}}} + C \Rightarrow
$$

$$
f(x) = \ln \frac{|x|}{\sqrt{1 + x^{2}}} + C.
$$

Next

当然，由于用分部积分可以去掉“一半”的积分符号，因此，我们也可以不通过直接计算 $\big[ \int x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x \big]^{\prime}$ 的方式去掉积分符号，而是通过分部积分完成这部分操作，但最终结果是一样的：

$$
\int x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x = \arctan x + C \Rightarrow
$$

$$
xf(x) – \int f(x) \mathrm{d} x = \arctan x + C \Rightarrow
$$

$$
f(x) + xf^{\prime} (x) – f(x) = \frac{1}{1 + x^{2}} \Rightarrow
$$

$$
xf^{\prime} (x) = \frac{1}{1 + x^{2}} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime} (x) = \frac{1}{x(1 + x^{2}) }
$$

之后的操作步骤，可以参考本文前面的讲述进行。

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综上所述：

$$
f(x) = \ln \frac{|x|}{\sqrt{1 + x^{2}}} + C.
$$

其中，$C$ 为任意常数。

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