计算极限 $\lim_{x \rightarrow 0^{+}}$ $x$ $\big[ \frac{1}{x} \big]$

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} x \Big[ \frac{1}{x} \Big] = ?
$$

其中，$\big[ \frac{1}{x} \big]$ 表示的是对 $\frac{1}{x}$ 进行取整的操作。

难度评级：

二、解析

在高等数学中，取证操作默认就是进行向下取整的操作，即去掉小数位，只保留整数部分。

由题知：

$$
\frac{1}{x} – 1 < \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \Big[ \frac{1}{x} \Big] \leqslant \frac{1}{x} \Rightarrow
$$

$$
x \Big(\frac{1}{x} – 1 \Big) < \lim_{x \rightarrow 0^{+}} x \Big[ \frac{1}{x} \Big] \leqslant \Big( x \cdot \frac{1}{x} \Big) \Rightarrow
$$

$$
1 – x < \lim_{x \rightarrow 0^{+}} x \Big[ \frac{1}{x} \Big] \leqslant 1 \Rightarrow
$$

$$
1 < \lim_{x \rightarrow 0^{+}} x \Big[ \frac{1}{x} \Big] \leqslant 1.
$$

Next

综上，由夹逼准则可知：

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} x \Big[ \frac{1}{x} \Big] = 1.
$$

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