计算极限 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $\sqrt[n]{1 + 2^{n} + 3^{n}}$

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1 + 2^{n} + 3^{n}} = ?
$$

本题可以使用夹逼准则解出，下文中会介绍使用夹逼准则时一个重要的放缩原则和思路。

难度评级：

二、解析

方法一

可以使用放缩夹逼的方式计算本题：

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1 + 2^{n} + 3^{n}} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \Big[ \sqrt[n]{0 + 0 + 3^{n}} \leqslant \sqrt[n]{1 + 2^{n} + 3^{n}} \leqslant \sqrt[n]{3^{n} + 3^{n} + 3^{n}} \Big] \Rightarrow
$$

Next

注意事项：在进行放缩的时候，最重要的就是控制放缩的“度”，如果放缩的范围过于宽泛，是无法使用夹逼准则的，例如，当 $x$ $\rightarrow$ $\infty$ 时，$\sqrt[n]{1^{n} + 1^{n} + 1^{n}}$ $\leqslant$ $\sqrt[n]{1 + 2^{n} + 3^{n}}$ 也是成立的，但并不能借此利用夹逼准则解出本题。

放缩的原则和思路：在放缩的时候，尽可能保留对整个式子的值影响比较大的部分（例如本题中的 $3^{n}$），这样有利于尽可能缩小放缩的范围，实现精准夹逼。

Next

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \Big[ \sqrt[n]{3^{n}} \leqslant \sqrt[n]{1 + 2^{n} + 3^{n}} \leqslant \sqrt[n]{3^{n+1}} \Big] =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \Big[ 3 \leqslant \sqrt[n]{1 + 2^{n} + 3^{n}} \leqslant 3^{\frac{n+1}{n}} \Big] =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \Big[ 3 \leqslant \sqrt[n]{1 + 2^{n} + 3^{n}} \leqslant 3^{\frac{n}{n}} \Big] =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \Big[ 3 \leqslant \sqrt[n]{1 + 2^{n} + 3^{n}} \leqslant 3 \Big] =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1 + 2^{n} + 3^{n}} = 3.
$$

Next

方法二

本题也可以通过构造出无穷小量并忽略无穷小量的方式计算：

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1 + 2^{n} + 3^{n}} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1^{n} + 2^{n} + 3^{n}} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[n]{3^{n} \cdot \Big( \frac{1^{n}}{3^{n}} + \frac{2^{n}}{3^{n}} + \frac{3^{n}}{3^{n}} \Big)} =
$$

$$
3 \cdot \lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\Big( \frac{1}{3} \Big)^{n} + \Big( \frac{2}{3} \Big)^{n} + 1 } =
$$

$$
3 \cdot \lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[n]{0 + 0 + 1 } = 3.
$$

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