为什么 $\sqrt{1+x}$ $-$ $\sqrt{1-x}$ $\sim$ $x$ ?

已知，当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时：

$$
(1+x)^{a} – 1 \sim ax
$$

于是：

$$
\sqrt{1+x} – \sqrt{1-x} =
$$

$$
[(1+x)^{\frac{1}{2}} – 1] – [(1-x)^{\frac{1}{2}} – 1] \sim
$$

$$
\frac{1}{2} x – (- \frac{1}{2}x) =
$$

$$
\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} x = x.
$$

综上有，当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时：

$$
\sqrt{1+x} – \sqrt{1-x} \sim x
$$

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