第一类曲线积分中的轮换对称性(被积函数为三元函数)(B016)

问题

如果第一类曲线积分中的积分路径 $\Gamma$(一条空间曲线)关于变量 $x$ 和 $y$ 具有轮换对称性,则当被积函数为 $f(x, y, z)$ 时,第一类曲线积分 $\int_{L}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $?$

选项

[A].   $\int_{\Gamma}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(z, x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(y, z, x)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $\int_{\Gamma}$ $[$ $f(x, y, z)$ $+$ $f(z, x, y)$ $+$ $f(y, z, x)$ $]$ $\mathrm{d} s$

[B].   $\int_{\Gamma}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(z, x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(y, z, x)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $\int_{\Gamma}$ $[$ $f(x, y, z)$ $\times$ $f(z, x, y)$ $\times$ $f(y, z, x)$ $]$ $\mathrm{d} s$

[C].   $\int_{\Gamma}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(z, x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(y, z, x)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $\int_{\Gamma}$ $[$ $f(x, y, z)$ $+$ $f(z, x, y)$ $]$ $\mathrm{d} s$

[D].   $\int_{\Gamma}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(z, x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(y, z, x)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $\int_{\Gamma}$ $[$ $f(x, y, z)$ $-$ $f(z, x, y)$ $-$ $f(y, z, x)$ $]$ $\mathrm{d} s$


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$\int_{\Gamma}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(z, x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(y, z, x)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $\int_{\Gamma}$ $[$ $f(x, y, z)$ $+$ $f(z, x, y)$ $+$ $f(y, z, x)$ $]$ $\mathrm{d} s$


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