直线与平面呈夹角 $\theta$ 时的性质(B009)

问题

若直线 $L$ 的表达式为 $\frac{x-x_{0}}{l}$ $=$ $\frac{y-y_{0}}{m}$ $=$ $\frac{z-z_{0}}{n}$, 平面 $\pi$ 的表达式为 $Ax$ $+$ $By$ $+$ $Cz$ $+$ $D$ $=$ $0$. 此外,直线 $L$ 的方向向量为 $\vec{s}$ $=$ $(l, m, n)$, 平面 $\pi$ 的法向量为 $\vec{n}$ $=$ $(A, B, C)$.

那么,若 $L$ 与 $\pi$ 之间的夹角为 $\theta$, 且 $(0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2})$, 则 $\sin \theta$ $=$ $?$

选项

[A].   $\cos \theta$ $=$ $\frac{|Al + Bm + Cn|}{\sqrt{l^{2} + m^{2} + n^{2}} \times \sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$

[B].   $\sin \theta$ $=$ $\frac{|Al + Bm + Cn|}{\sqrt{l^{2} + m^{2} + n^{2}} \times \sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$

[C].   $\sin \theta$ $=$ $\frac{|Al + Bm + Cn|}{(l^{2} + m^{2} + n^{2}) \times (A^{2} + B^{2} + C^{2})}$

[D].   $\sin \theta$ $=$ $\frac{Al + Bm + Cn}{\sqrt{l^{2} + m^{2} + n^{2}} \times \sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$



显示答案

$\textcolor{red}{\sin \theta}$ $=$ $\frac{|\textcolor{orange}{\vec{s}} \cdot \textcolor{cyan}{\vec{n}}|}{|\textcolor{orange}{\vec{s}}| |\textcolor{cyan}{\vec{n}}|}$ $=$ $\frac{|\textcolor{cyan}{A} \textcolor{orange}{l} + \textcolor{cyan}{B} \textcolor{orange}{m} + \textcolor{cyan}{C} \textcolor{orange}{n}|}{\sqrt{\textcolor{orange}{l}^{2} + \textcolor{orange}{m}^{2} + \textcolor{orange}{n}^{2}} \times \sqrt{\textcolor{cyan}{A}^{2} + \textcolor{cyan}{B}^{2} + \textcolor{cyan}{C}^{2}}}$