无界函数反常积分的比阶审敛法(B007)

问题

若函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $(a, b]$ 内的任意有限区间上可积,$f(x)$ 和 $g(x)$ 均非负,且 $\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $\frac{\textcolor{Orange}{f(x)}}{\textcolor{Red}{g(x)}}$ $=$ $\lambda$, 则以下选项中,完全正确的是哪一项?

在这里,我们令:
$\textcolor{Orange}{F}$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$, $\textcolor{Red}{G}$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Red}{g(x)}$ $\mathrm{d} x$.

选项

[A].   
当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时,$F$ 与 $G$ 的敛散性相同
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时, $G$ 发散则 $F$ 发散
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时,$F$ 收敛则 $G$ 发散


[B].   
当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时,$F$ 与 $G$ 的敛散性相同
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时, $G$ 收敛则 $F$ 收敛
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时,$F$ 收敛则 $G$ 发散


[C].   
当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时,$F$ 与 $G$ 的敛散性相同
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时, $G$ 收敛则 $F$ 收敛
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时,$F$ 收敛则 $G$ 收敛


[D].   
当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时,$F$ 与 $G$ 的敛散性相反
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时, $G$ 收敛则 $F$ 收敛
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时,$F$ 收敛则 $G$ 收敛



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当 $\textcolor{Yellow}{\lambda}$ $\textcolor{Green}{\neq}$ $\textcolor{Yellow}{0}$ 时,$\textcolor{Orange}{F}$ 与 $\textcolor{Red}{G}$ 的敛散性相同
当 $\textcolor{Yellow}{\lambda}$ $\textcolor{Green}{=}$ $\textcolor{Yellow}{0}$ 时, $\textcolor{Red}{G}$ 收敛则 $\textcolor{Orange}{F}$ 收敛
当 $\textcolor{Yellow}{\lambda}$ $\textcolor{Green}{=}$ $\textcolor{Yellow}{\infty}$ 时,$\textcolor{Orange}{F}$ 收敛则 $\textcolor{Red}{G}$ 收敛