反常积分 $\int_{-1}^{1}$ $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ 的计算方法

一、题目分析

因为对于 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 而言，必须有 $x$ $\neq$ $0$, 于是，在区间 $[-1, 1]$ 内，定积分 $\int_{-1}^{1}$ $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ 其实是一个瑕积分，瑕点就是 $x$ $=$ $0$, 由于在真正进行积分运算的时候，被积函数不能包含瑕点，所以，我们必须在 $x$ $=$ $0$ 处对原积分进行“分割”。

二、示意图像

函数 $y$ $=$ $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ 的示意图像如下：

三、计算过程

$$
\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}} \mathrm{d} x \Rightarrow
$$

---

令：

$$
\begin{cases}
& s \rightarrow 0^{-}; \\
& t \rightarrow 0^{+}.
\end{cases}
\Rightarrow
$$

---

$$
\lim_{s \rightarrow 0 ^{-}} \int_{-1}^{s} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}} \mathrm{d} x +
$$

$$
\lim_{t \rightarrow 0 ^{+}} \int_{t}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}} \mathrm{d} x =
$$

---

$$
\lim_{s \rightarrow 0 ^{-}} \int_{-1}^{s} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \mathrm{d} x +
$$

$$
\lim_{t \rightarrow 0 ^{+}} \int_{t}^{1} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \mathrm{d} x =
$$

---

$$
\lim_{s \rightarrow 0 ^{-}} \int_{-1}^{s} x^{\frac{-2}{3}} \mathrm{d} x +
$$

$$
\lim_{t \rightarrow 0 ^{+}} \int_{t}^{1} x^{\frac{-2}{3}} \mathrm{d} x =
$$

---

$$
3 \lim_{s \rightarrow 0 ^{-}} x^{\frac{1}{3}} \Bigg|_{-1}^{s} +
$$

$$
3 \lim_{t \rightarrow 0 ^{+}} x^{\frac{1}{3}} \Bigg|_{t}^{1} =
$$

---

$$
3(0+1) + 3(1-0) =
$$

---

$$
3 + 3 =
$$

---

$$
6.
$$