一、题目
计算下面函数的全微分：
$$
z = xy + \frac{x}{y}
$$
难度评级：
继续阅读“计算 $z$ $=$ $xy$ $+$ $\frac{x}{y}$ 的全微分”月度归档： 2023年3月
解决三角函数定积分的组合拳：区间再现与点火公式——以 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $x$ $\sin^{2} x$ $\cos^{2} x$ $\mathrm{d} x$ 为例
一、题目
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin^{2} x \cos^{2} x \mathrm{d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“解决三角函数定积分的组合拳：区间再现与点火公式——以 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $x$ $\sin^{2} x$ $\cos^{2} x$ $\mathrm{d} x$ 为例”有根号先去掉根号：$\int_{0}^{\pi^{2}}$ $\sqrt{x}$ $\cos \sqrt{x}$ $\mathrm{d} x$
一、题目
$$
\int_{0}^{\pi^{2}} \sqrt{x} \cos \sqrt{x} \mathrm{d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“有根号先去掉根号：$\int_{0}^{\pi^{2}}$ $\sqrt{x}$ $\cos \sqrt{x}$ $\mathrm{d} x$”化繁为简：以 $\int_{1}^{2}$ $(x-1)^{2}$ $(x-2)^{2}$ $\mathrm{d} t$ 为例
一、题目
$$
\int_{1}^{2} (x-1)^{2} (x-2)^{2} \mathrm{d} t =
$$
难度评级：
继续阅读“化繁为简：以 $\int_{1}^{2}$ $(x-1)^{2}$ $(x-2)^{2}$ $\mathrm{d} t$ 为例”求解定积分 $\int_{-2}^{2}$ $x \ln(1+e^{x})$ $\mathrm{d} x$
一、题目
$$
\int_{-2}^{2} x \ln(1+e^{x}) \mathrm{d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“求解定积分 $\int_{-2}^{2}$ $x \ln(1+e^{x})$ $\mathrm{d} x$”计算定积分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}$ $\mathrm{d} x$
一、题目
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \mathrm{d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“计算定积分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}$ $\mathrm{d} x$”求解定积分 $\int_{0}^{2}$ $x \sqrt{2x – x^{2}}$ $\mathrm{d} x$
一、题目
$$
\int_{0}^{2} x \sqrt{2x – x^{2}} \mathrm{d} x = ?
$$
本文的题目解析中提供了三种不同角度的解法。
难度评级：
继续阅读“求解定积分 $\int_{0}^{2}$ $x \sqrt{2x – x^{2}}$ $\mathrm{d} x$”关于非原点位置反对称的“奇函数”
求解定积分 $\int_{0}^{1}$ $x (1-x^{4})^{\frac{3}{2}}$
一、题目
$$
\int_{0}^{1} x (1-x^{4})^{\frac{3}{2}} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“求解定积分 $\int_{0}^{1}$ $x (1-x^{4})^{\frac{3}{2}}$”$\sin^{4} x$ $+$ $\cos^{4} x$ 等于 $1$ 吗？
判断 $y$ $=$ $\frac{x^{2} + 1}{x + 1} \cdot e^{\frac{1}{x-1}}$ 的渐近线的条数和类型
一、题目
判断如下函数的渐近线的条数和类型：
$$
y = \frac{x^{2} + 1}{x + 1} \cdot e^{\frac{1}{x-1}}
$$
难度评级：
继续阅读“判断 $y$ $=$ $\frac{x^{2} + 1}{x + 1} \cdot e^{\frac{1}{x-1}}$ 的渐近线的条数和类型”求解函数渐近线的方法
求解函数 $f(x)$ $=$ $\ln x$ $-$ $\frac{x}{e}$ $+$ $k$ 零点的个数
一、题目
求解函数 $f(x)$ 的零点的个数：
$$
f(x) = \ln x – \frac{x}{e} + k
$$
其中，$k$ $>$ $0$.
难度评级：
继续阅读“求解函数 $f(x)$ $=$ $\ln x$ $-$ $\frac{x}{e}$ $+$ $k$ 零点的个数”讨论函数 $f(x)$ $=$ $\left\{\begin{matrix} \frac{2 – 2^{\frac{1}{x-1}}}{1 + 2^{\frac{1}{x-1}}}, & x \neq 1 \\ 1 & x = 1 \end{matrix}\right.$ 的间断点类型
一、题目
下面的函数 $f(x)$ 有哪些类型的间断点：
$$
f(x) =
\left\{\begin{matrix}
\frac{2 – 2^{\frac{1}{x-1}}}{1 + 2^{\frac{1}{x-1}}}, & x \neq 1 \\
1 & x = 1
\end{matrix}\right.
$$
难度评级：
继续阅读“讨论函数 $f(x)$ $=$ $\left\{\begin{matrix} \frac{2 – 2^{\frac{1}{x-1}}}{1 + 2^{\frac{1}{x-1}}}, & x \neq 1 \\ 1 & x = 1 \end{matrix}\right.$ 的间断点类型”一个看似不可能的等价无穷小代换的应用
一、题目
已知：
$$
\alpha = \lim_{x \rightarrow 0} \Big[ x^{2} – \ln^{2}(1+x) \Big]
$$
$$
\beta = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{\sqrt{1+x^{3}}} – e^{\sqrt{1-x^{3}}}}{e}
$$
则，$\alpha$ 与 $\beta$ 之间是什么关系？
难度评级：
继续阅读“一个看似不可能的等价无穷小代换的应用”