Idea: 深夜观看美食视频可能诱发或者加重胃病

声明:本文所阐述的观点仅供参考,本文所得出的结论仅仅是思想实验的可能结果,没有经过实验验证。

观看和“吃”相关的视频的时候,可能会因人体的条件反射导致胃酸分泌量增加,然而这个时候人们可能并没有真正进食。再加上深夜的时候,距离吃完晚饭已经有一段时间,胃部的食物已经快要消化完毕,这个时候如果再有较多的胃酸分泌,就有可能诱发或者加重胃部疾病。

Google 将 Android Q 改名为 Android 10 并修改了 Android 的图标

根据 Google 博客的消息(原文地址:https://www.blog.google/products/android/evolving-android-brand/),包括手机,汽车,手表,电视等设备在内,全球范围内搭载 Android 系统的设备已经超过 25 亿台。为了使 Android 发展得更好,Google 方面最近采取了两项措施。

一是将 Android Q 改名为 Android 10

在之前的发行版中,Google 的工程师会给每个发行版起一个内部代码名字,这个名字通常是按首字母顺序依次使用的美味的点心或者甜品的名称。这么做虽然很有趣,但是根据过去几年的反馈,并不是每个人都能理解这些名字的含义,因为 Android 在世界各个地方都有开发者,这些开发者之间有着许多语言和文化上的差异。例如,在一些语言中是不区分 “L” 和 “R” 的,因此,习惯于使用这些语言的人们就不能直观地理解 “Android Lollipop” 是 “Android KitKat” 之后的一个版本。同样的困扰也可能存在于 Android 的使用者身上,由于有些用户可能不了解 Android 的命名惯例,因此就难以判断自己的设备上运行的 Android 系统是不是最新版的。此外,在一些地方,”pies” 并不是指的甜点,而且虽然棉花糖 (marshmallows) 很美味,但并不是世界上所有地方都流行吃棉花糖。

作为一个全球性的操作系统,对人们来说,一个清晰直观的名字是很重要的。因此,从下一个版本的 Android 系统开始,将使用简单直接的数字来命名,而下一个版本的 Android 被命名为 “Android 10”.

Figure 1. from: https://www.blog.google/products/android/evolving-android-brand/

Android 系统的 LOGO 已经变化了很多次了,此次对 LOGO 的修改更多地考虑到使其更加“无障碍化”,因为对于 Android 开发者社区中一些有视觉障碍的人们而言,绿色的图标可能比较难以分辨。于是 Google 这次将 LOGO 中的 “Android” 变成了黑色的。

Figure 2. from: https://www.blog.google/products/android/evolving-android-brand/

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2015 年研究生入学考试数学一填空题第 2 题解析

题目

\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(\frac{\sin x}{1+\cos x}+|x|)dx=__.

解析

本题存在(关于原点对称的)对称区间 “[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]“, 在求积分的时候,如果看到这样的对称区间,则要考虑被积函数是不是奇函数或者偶函数。如果是奇函数,则其在对称区间上的积分为 0, 如果是偶函数,则我们可以只计算其大于 0 或者小于 0 方向上的积分,之后再乘以 2 即可获得整个积分区间上的积分数值。

由于:

\frac{\sin (-x)}{1+\cos(-x)}=\frac{-\sin x}{1+\cos x} \Rightarrow f(-x)=-f(x).

因此,f(x)=\frac{\sin x}{1+\cos x} 是一个奇函数,因此,其在对称区间 [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] 上的积分为 0.

又由于:

|-x|=|x| \Rightarrow g(-x)=g(x).

因此,g(x)=|x| 是一个偶函数。

于是:

原式 = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}|x|dx = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}xdx=2 \cdot \frac{1}{2}x^{2}|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi^{2}}{4}.

当然,本题除了可以使用积分的原理计算之外,还可以画图计算面积,如图 1:

Figure 1. y=|x| 的函数图像

根据上图,我们有:

\frac{\pi}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2=\frac{\pi^{2}}{4}.

综上可知,本题的正确答案是:\frac{\pi^{2}}{4}.

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2018 年研究生入学考试数学一填空题第 1 题解析

题目

\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{1-\tan x}{1+\tan x})^{\frac{1}{\sin kx}}=e, 则 k=__.

解析

观察本题可以发现,这是一个求极限的式子,而且等式的右边是 e, 符合“两个重要极限”中的第二个重要极限的一部分特征。

两个重要极限如下:

\lim_{x \rightarrow x_{x_{0}}}\frac{\sin x}{x}=1,\lim_{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e.

由于题目中的式子不存在上述公式中的 1, 因此,我们需要构造出这个 1, 即:

1+\square=\frac{1-\tan x}{1+\tan x }\Rightarrow \square = \frac{1-\tan x}{1+\tan x }-1=\frac{1-\tan x}{1+\tan x }-\frac{1+\tan x}{1+\tan x}=\frac{-2 \tan x}{1+\tan x}.

于是,原式= \lim_{x \rightarrow 0}(1+\frac{-2\tan x}{1+\tan x})^{\frac{1}{\sin kx}}=e. (1)

由于当 x \rightarrow 0 时,\frac{-2\tan x}{1+\tan x} \rightarrow 0\frac{1}{\sin kx} \rightarrow \infty, 所以,符合使用“两个重要极限”的条件,可以继续接下来的计算。

Figure 1. 正切函数图像,使用 www.desmos.com 制作

接下来继续向公式的方向构造等式。

(1) = \lim_{x \rightarrow 0}(1+\frac{-2\tan x}{1+\tan x})^{\frac{1+\tan x}{-2\tan x}\frac{-2\tan x}{1+\tan x}\frac{1}{\sin kx}} (2)

根据公式,我们知道:

\lim_{x \rightarrow 0}(1+\frac{-2\tan x}{1+\tan x})^{\frac{1+\tan x}{-2\tan x}}=e.

于是:

(2)=e^{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{-2\tan x}{1+\tan x}\frac{1}{\sin kx}}=e^{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{-2\tan x}{(1+\tan x)\sin kx}} (3)

x \rightarrow 0 时,\tan x \rightarrow 0 是不可以带入原式中的(只有非零和非无穷的数值可以带入原式中。),不过当 x \rightarrow 0 时,(1+\tan x) \rightarrow 1 是可以带入原式中的,于是:

\lim_{x \rightarrow 0}\frac{-2\tan x}{(1+\tan x)\sin kx}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{-2\tan x}{\sin kx}.

又因为当 x \rightarrow 0 时,\sin x \sim \tan x \sim x, 于是:

\lim_{x \rightarrow 0}\frac{-2\tan x}{\sin kx}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{-2x}{kx}=-\frac{2}{k}.

即:

e^{-\frac{2}{k}}=e \Rightarrow -\frac{2}{k}=1 \Rightarrow k=-2.

综上可知,正确答案是:-2

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2015 年研究生入学考试数学一解答题第 1 题解析

题目

设函数 f(x)=x+a \ln(1+x)+bx\sin x,g(x)=kx^{3}x \rightarrow 0 时等价无穷小,求常数 a,b,k 的取值.

解析

由于 x \rightarrow 0 时,f(x)g(x) 是等价无穷小,因此有:

\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}=1, 即:

\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x+a \ln(1+x)+bx \sin x}{kx^{3}}=1.

又由麦克劳林公式:

1. \sin x=x+o(x^{2});

注 1:根据麦克劳林公式,\sin x 也可以等于 x-\frac{x^{3}}{6}+o(x^{4}), 但是这里为了能够在接下来的计算中使得分子分母可以使用“对照”的方式求解,分子的最大幂次不能大于分母的最大幂次。由于 \sin x 在使用麦克劳林公式替换之后还需要和 x 相乘得到二次幂,因此这里只能令 \sin x 等于 x+o(x^{2}).

2. \ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+o(x^{3}).

注 2. 对 \ln(1+x) 项数的选取所依据的原因和注 1 一致。

于是,我们有:

1=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x+ax-\frac{a}{2}x^{2}+\frac{a}{3}x^{3}+o(x^{3})+bx^{2}+o(x^{3})}{kx^{3}}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{(1+a)x+(b-\frac{a}{2})x^{2}+\frac{a}{3}x^{3}+o(x^{3})}{kx^{3}}.

于是,我们有:

\left\{\begin{matrix} 1+a=0\\ b-\frac{a}{2}=0,\\ \frac{a}{3}=k \end{matrix}\right.

解得:

\left\{\begin{matrix} a=-1\\ b=-\frac{1}{2}\\ k=-\frac{1}{3} \end{matrix}\right.

手写作答

图 1

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阿波罗计划 50 周年:NASA 在月球上使用的第一辆月球车

Figure 1. from: https://www.nasa.gov/centers/marshall/history/this-week-in-nasa-history-first-use-of-the-lunar-roving-vehicle-july-31.html

如果从 1969 年 NASA 的航天器成功登陆月球开始算起,今年是阿波罗计划 50 周年。

在 1971 年的 07 月 31 日,阿波罗 15 号任务首次在月球使用了月球漫游车。这是一台轻量级的车,使用电力驱动,可以在月球表面的低重力真空环境中行驶,帮助宇航员探索着陆点周围的环境。

本文中的这张照片是在阿波罗 15 号任务中宇航员第三次出舱活动时拍摄的,照片的背景是荒凉的月球和无穷无尽的深空。然而,当人类的脚步开始点缀在这颗星球上时,她的美便开始难以用语言形容。

更多信息可以访问:

https://www.nasa.gov/centers/marshall/history/index.html