一是将 Android Q 改名为 Android 10

Android 系统的 LOGO 已经变化了很多次了，此次对 LOGO 的修改更多地考虑到使其更加“无障碍化”，因为对于 Android 开发者社区中一些有视觉障碍的人们而言，绿色的图标可能比较难以分辨。于是 Google 这次将 LOGO 中的 “Android” 变成了黑色的。

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一、题目

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$ $(\frac{\sin x}{1+\cos x}$ $+$ $|x|)$ $dx$ $=$__.

二、解析

$\frac{\sin (-x)}{1+\cos(-x)}$ $=$ $\frac{-\sin x}{1+\cos x}$ $\Rightarrow$ $f(-x)$ $=$ $-f(x)$.

$|-x|$ $=$ $|x|$ $\Rightarrow$ $g(-x)$ $=$ $g(x)$.

$\frac{\pi}{2}$ $\cdot$ $\frac{\pi}{2}$ $\cdot$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $2$ $=$ $\frac{\pi^{2}}{4}$.

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一、题目

$\lim_{x \rightarrow 0}$ $(\frac{1-\tan x}{1+\tan x})^{\frac{1}{\sin kx}}$ $=$ $e$, 则 $k$ $=$__.

二、解析

$\lim_{x \rightarrow x_{x_{0}}}$ $\frac{\sin x}{x}$ $=$ $1$, $\lim_{x \rightarrow 0}$ $(1+x)^{\frac{1}{x}}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $(1+\frac{1}{x})^{x}$ $=$ $e$.

$1$ $+$ $\square$ $=$ $\frac{1-\tan x}{1+\tan x }$ $\Rightarrow$ $\square$ $=$ $\frac{1-\tan x}{1+\tan x}$ $-$ $1$ $=$ $\frac{1-\tan x}{1+\tan x}$ $-$ $\frac{1+\tan x}{1+\tan x}$ $=$ $\frac{-2 \tan x}{1+\tan x}$.

$(1)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 0}$ $(1+\frac{-2\tan x}{1+\tan x})^{\frac{1+\tan x}{-2\tan x} \frac{-2\tan x}{1+\tan x} \frac{1}{\sin kx}}$. (2)

$\lim_{x \rightarrow 0}$ $(1+\frac{-2\tan x}{1+\tan x})^{\frac{1+\tan x}{-2\tan x}}$ $=$ $e$.

$(2)$ $=$ $e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{-2\tan x}{1+\tan x}\frac{1}{\sin kx}}$ $=$ $e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{-2\tan x}{(1+\tan x)\sin kx}}$. (3)

$\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{-2\tan x}{(1+\tan x)\sin kx}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{-2\tan x}{\sin kx}$.

$\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{-2\tan x}{\sin kx}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{-2x}{kx}$ $=$ $-\frac{2}{k}$.

$e^{-\frac{2}{k}}$ $=$ $e$ $\Rightarrow$ $-$ $\frac{2}{k}$ $=$ $1$ $\Rightarrow$ $k$ $=$ $-$ $2$.

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二、解析

$\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{f(x)}{g(x)}$ $=$ $1$, 即：

$\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{x+a \ln(1+x) + bx \sin x}{kx^{3}}$ $=$ $1$.

1. $\sin x$ $=$ $x$ $+$ $o(x^{2})$;

2. $\ln(1+x)$ $=$ $x$ $-$ $\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}$ $+$ $o(x^{3})$.

$1$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{x+ax-\frac{a}{2}x^{2}+\frac{a}{3}x^{3}+o(x^{3})+bx^{2}+o(x^{3})}{kx^{3}}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{(1+a)x+(b-\frac{a}{2})x^{2}+\frac{a}{3}x^{3}+o(x^{3})}{kx^{3}}$.

$\left\{\begin{matrix} 1+a=0,\\ b-\frac{a}{2}=0,\\ \frac{a}{3}=k. \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} a=-1,\\ b=-\frac{1}{2},\\ k=-\frac{1}{3}. \end{matrix}\right.$

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阿波罗计划 50 周年：NASA 在月球上使用的第一辆月球车

https://www.nasa.gov/centers/marshall/history/index.html

二、解析

(1) 当 $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}$ 为互异实根时，微分方程得通解为 $y(x)$ $=$ $C_{1}$ $e^{\lambda_{1}x}$ $+$ $C_{2}$ $e^{\lambda_{2}x}$;

(2) 当 $\lambda_{1}$ $=$ $\lambda_{2}$ 时，通解为 $y(x)$ $=$ $(C_{1}+C_{2}x)$ $e^{\lambda_{1}x}$;

(3) 当 $\lambda$ $=$ $\alpha$ $\pm$ $i$ $\beta$ （复数根）时，通解为 $y(x)$ $=$ $e^{\alpha x}$ $(C_{1}$ $\cos \beta$ $x$ $+$ $C_{2}$ $\sin \beta$ $x)$.

$\lambda^{2}$ $+$ $2$ $\lambda$ $+$ $3$ $=$ $0$. (1)

$x$ $=$ $\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$.

$\lambda$ $=$ $\frac{-2\pm\sqrt{4-12}}{2}$ $=$ $\frac{-2\pm\sqrt{-8}}{2}$. (2)

$i^{2}$ $=$ $-1$.

$\lambda$ $=$ $\frac{-2\pm\sqrt{8i^{2}}}{2}$ $=$ $\frac{-2\pm i 2 \sqrt{2}}{2}$ $=$ $-1$ $\pm$ $i$ $\sqrt{2}$.

$y$ $=$ $e^{-x}$ $(C_{1}$ $\cos \sqrt{2}x$ $+$ $C_{2}$ $\sin \sqrt{2}$ $x$ $)$

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二、解析

$(xy)’$ $=0$.

$xy$ $=$ $C$ $\Rightarrow$ $y$ $=$ $\frac{C}{x}$

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一、题目

( A ) 当 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ 收敛时，$\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $b_{n}$ 收敛.

( B ) 当 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ 发散时，$\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $b_{n}$ 发散.

( C ) 当 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $|b_{n}|$ 收敛时，$\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}^{2}$ $b_{n}^{2}$ 收敛.

( D ) 当 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $|b_{n}|$ 发散时，$\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}^{2}$ $b_{n}^{2}$ 发散.

二、解析

方法一：反例法

A 项：

① $u_{n}$ $\geqslant$ $u_{n+1}$, $(n = 1,2,3, \dotsc)$;

② $\lim$ $u_{n}$ $=$ $0$,

$p$ 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{1}{n^{p}}$ $\left\{\begin{matrix} 收敛 & p>1,\\ 发散 & p \leqslant 1. \end{matrix}\right.$

B 项：

$\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $b_{n}$ $=$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{1}{n^{2}}$.

D 项：

方法二：用级数收敛的必要条件推导证明

$\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛 $\Rightarrow$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $u_{n}$ $=$ $0$;

$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $u_{n}$ $=$ $0$ $\nRightarrow$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛。

$a_{n}^{2}$ $b_{n}^{2}$ $\leqslant$ $M^{2}$ $b_{n}^{2}$. 又因为 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $|b_{n}|$ 收敛，故有：

$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $|b_{n}|$ $=0$.

$\lim_{n=1}^{\infty}$ $M^{2}$ $|b_{n}|$ $=$ $0$.

$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\frac{M^{2}|b_{n}||b_{n}|}{|b_{n}|}$ $=$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $M^{2}$ $|b_{n}|$ $=$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\frac{M^{2}b_{n}^{2}}{|b_{n}|}$ $=$ $0$.

① 若 $0$ $\leqslant$ $A$ $\leqslant$ $+$ $\infty$, 且 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛.

② 若 $0$ $\leqslant$ $A$ $\leqslant$ $+$ $\infty$, 且 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散.

$\sum_{n=1}^{\infty}$ ${a^{2} b_{n}^{2}}$ 收敛.

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一、题目

( A ) $M$ $>$ $N$ $>$ $K$

( B ) $M$ $>$ $K$ $>$ $N$

( C ) $K$ $>$ $M$ $>$ $N$

( D ) $K$ $>$ $N$ $>$ $M$

二、解析

$M$ $=$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$ $\frac{(1+x)^{2}}{1+x^{2}}$ $dx$ $=$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$ $\frac{1+x^{2}+2x}{1+x^{2}}$ $dx$ $=$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$ $[\frac{1+x^{2}}{1+x^{2}}$ $+$ $\frac{2x}{1+x^{2}}]$ $dx$ $=$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$ $[$ $1$ $+$ $\frac{2x}{1+x^{2}}]$ $dx$

$y$ $=$ $x$, $x$ $\in$ $(-\infty,$ $+\infty)$ 就是一个典型的奇函数，如图 1：

$f(x)$ $=$ $\frac{2x}{1+x^{2}}$

$\frac{2(-x)}{1+(-x)^{2}}$ $=$ $-\frac{2x}{1+x^{2}}$ $\Rightarrow$ $f(-x)$ $=$ $-f(x)$.

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$ $\frac{2x}{1+x^{2}}$ $dx$ $=$ $0$.

$M$ $=$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$ $1$ $dx$.

$d(x^{\mu})$ $=$ $\mu$ $x^{\mu-1}$ $dx$

$M$ $=$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$ $1$ $dx$ $+$ $\frac{d(1+x^{2})}{1+x^{2}}$ $=$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$ $1$ $dx$ $+$ $\frac{1}{1+x^{2}}$ $d(1+x^{2})$.

$\int$ $\frac{1}{x}$ $dx$ $=$ $\ln |x|$ $+$ $c$.

$M$ $=$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$ $1$ $+$ $\frac{1}{1+x^{2}}d(1+x^{2})$ $=$ $x$ $+$ $\ln |1+x^{2}|$ $+$ $c$ $|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$ $=$ $\frac{\pi}{2}$ $+$ $|\ln[1+(\frac{\pi}{2})^{2}]|$ $+$ $c$ $-$ $(-\frac{\pi}{2})$ $-$ $|\ln[1+(-\frac{\pi}{2})^{2}]|$ $-$ $c$ $=$ $\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}$ $=$ $\pi$.

$\int_{a}^{b}$ $1$ $dx$ $=$ $b$ $-$ $a$.

$M$ $=$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$ $1$ $dx$.

$\int$ $\frac{2x}{1-x^{2}}$ $dx$ $=$ $-\int$ $\frac{1}{1-x^{2}}$ $=$ $-\ln |1-x^{2}|$ $+$ $c$;

$\int$ $\frac{2x}{1-x^{2}}$ $dx$ $=$ $\int$ $(\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1+x})$ $dx$ $=$ $-\ln|x-1|$ $-$ $\ln|x+1|$ $+$ $c$ $=$ $-\ln|x^{2}-1|$ $+$ $c$.

$K$ $\geqslant$ $M$ $\geqslant$ $N$, 正确选项是：C

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XAMPP 发布新版本，内置 PHP 7.1.31 , 7.2.21 , 7.3.8

2019 年 08 月 13 日，新版本的 XAMPP 发布，此次发布的安装程序包含以下组件：

• PHP 7.1.31 , 7.2.21 , 7.3.8
• Apache 2.4.39
• Perl 5.16.3
• OpenSSL 1.0.2s (UNIX only)

Tumblr 被 WordPress.com 母公司 Automattic 以 300 万美元收购

2019 年 08 月 13 日，WordPress.com 的母公司 Automattic 在其官方推特上宣布 Tumblr 已经加入 Automattic:

2007 年 02 月，Tumblr 正式上线；

2016 年，Tumblr 的月访问量达到 5.5 亿；

2013 年，Tumblr 被雅虎以 11 亿美元收购；

2017 年，Tumblr 又被 Verizon 收购；

2018 年，Tumblr 开始限制站内的成人内容，此后网站访问量明显降低。

Tumblr 的创始人之一 Matt Mullenweg 在其位于 Tumblr 的博客上发文表示：

I look forward to working with everyone from Tumblr as we welcome them to Automattic, and I can’t wait for us to build great products together.

https://photomatt.tumblr.com/post/186964618222/automattic-tumblr

First, they chose to find a new home for Tumblr instead of shutting it down. Second, they considered not just how much cash they would get on day one, but also — and especially — what would happen to the team afterward, and how the product and the team would be invested in going forward. Third, they thought about the sort of steward of the community the new owner would be. They didn’t have to do any of that, and I commend them for making all three points a priority.

https://ma.tt/2019/08/tumblr-the-day-after/

Automattic 旗下的 WordPress 和 Tumblr 都是博客平台，就我个人的感受而言，WordPress 是一个更侧重桌面端的博客平台，而 Tumblr 则是一个更侧重手机端的博客平台。因此，此次收购应该可以在未来起到优势互补的作用。

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中国开源云联盟发布中国首个开源许可协议：木兰宽松许可证

2019 年 08 月 05 日，中国开源云联盟发布了“木兰宽松许可证 (MulanPSL)” 第一版。根据已知消息，这应该是中国首个开源许可协议。木兰宽松许可证包含中文和英文两个版本，这两个版本具备相同的法律效力。

一、题目

( A ) 若 ${x_{n}}$ 收敛，则 ${f(x_{n})}$ 收敛.

( B ) 若 ${x_{n}}$ 单调，则 ${f(x_{n})}$ 收敛.

( C ) 若 ${f(x_{n})}$ 收敛，则 ${x_{n}}$ 收敛.

( D ) 若 ${f(x_{n})}$ 单调，则 ${x_{n}}$ 收敛.

二、解析

$\{1,-1,1,-1,1,-1\}$.

• 复合函数的单调性

“同增异减”的含义就是，如果外层函数是增函数，则复合函数的增减性与内函数的增减性一致；

“同增异减”也可以理解成，如果复合前两个函数都为增函数或者都为减函数，则复合函数为增函数；如果复合前两个函数一个为增函数，一个为减函数，则复合函数为减函数。

• 复合函数的奇偶性

① 如果内函数为奇函数，则复合函数的奇偶性与外函数的奇偶性保持一致；

② 如果内函数为偶函数，则复合函数必为偶函数。

• 复合函数的周期性

① 若内函数为周期函数，则复合函数一定也是周期函数；

② 若外函数为周期函数，则复合函数不一定为周期函数。

• 复合函数的有界性

① 若内函数有界且外函数有界，则复合函数一定有界；

② 若内函数无界但外函数有界，则复合函数一定有界；

（上述两条总结一下就是，无论内函数是否有界，只要外函数有界，则复合函数一定有界。）

③ 若内函数有界但外函数无界或者内外函数都无界，这种情况下不能确定或者否定复合函数是有界还是无界，如果要确定或否定，还需要其他条件辅助分析。

A 项：

${x_{n}}$ 收敛 → ${x_{n}}$ 有界；

$f(x)$ 有界 + ${x_{n}}$ 有界 → ${f(x_{n})}$ 有界；

A 项错误。

B 项：

${x_{n}}$ 单调 + $f(x_{n})$ 单调 → ${f(x_{n})}$ 单调；

$f(x_{n})$ 有界 → ${f(x_{n})}$ 有界；

${f(x_{n})}$单调有界 → ${f(x_{n})}$ 收敛。

B 项正确。

C 项：

C 项错误。

D 项：

$f(x_{n})$ 有界 → ${f(x_{n})}$ 有界；

${f(x_{n})}$单调有界 → ${f(x_{n})}$ 收敛；

D 项错误。

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