2020 年研究生入学考试数学一选择题第 7 题解析

一、题目

设 $A$, $B$, $C$ 为三个随机事件,且 $P(A)$ $=$ $P(B)$ $=$ $P(C)$ $=$ $\frac{1}{4}$, $P(AB)$ $=$ $0$, $P(AC)$ $=$ $P(BC)$ $=$ $\frac{1}{12}$, 则 $A$, $B$, $C$ 中恰有一个发生的概率为 ( )

A. $\frac{3}{4}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{5}{12}$

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概率论:理解事件的互斥,对立与独立

一、性质

$A$ 与 $B$ 为互斥(互不相容)事件 $\Leftrightarrow$ $A$ $\cap$ $B$ $=$ $\varnothing$ $\Leftrightarrow$ $A$ 与 $B$ 不能同时发生。

$A$ 与 $B$ 为对立(互逆)事件 $\Leftrightarrow$ $A$ $\cap$ $B$ $=$ $\varnothing$ 且 $A$ $\cup$ $B$ $=$ $\Omega$ $\Leftrightarrow$ $A$ 与 $B$ 在一次试验中必然发生且只能发生一个。

若 $P(A)$ $=$ $0$ 或 $P(A)$ $=$1$, 则 $A$ 与任何事件都相互独立。

若 $A$ 与 $B$ 相互独立,则 $P(AB)$ $=$ $P(A)P(B)$.

若 $A$ 与 $B$ 互斥(或互逆)且均为非零概率事件,则 $A$ 与 $B$ 不相互独立。

若 $A$ 与 $B$ 相互独立且均为非零概率事件,则 $A$ 与 $B$ 不互斥。

二、图解

$A$ 与 $B$ 互斥(互不相容)关系如图 1 所示:

图 1

$A$ 与 $B$ 对立(互逆)关系如图 2 所示:

图 2

$A$ 与 $B$ 相互独立关系如图 3 所示:

图 3

$A$ 与 $B$ 互逆,互斥与独立之间的推导关系如图 4 所示:

图 4

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2012 年研究生入学考试数学一填空题第 6 题解析

一、题目

设 $A,B,C$ 是随机事件,$A$ 与 $C$ 互不相容,$P(AB)$ $=$ $\frac{1}{2}$, $P(C)$ $=$ $\frac{1}{3}$, 则 $P(AB|\bar{C})$ $=$__.

二、解析

$A$与 $C$ 互不相容 $\Rightarrow$ $A$ $\cap$ $C$ $=$ $\phi$ $\Rightarrow$ $P(AC)$ $=$ $P(\phi)$ $=$ $P(\phi \cap B)$ $\Rightarrow$ $P(AC \cap B)$ $=$ $0$.

于是,我们有:

$P(AB|\bar{C})$ $=$ $\frac{P(AB \bar{C})}{P(\bar{C})}$ $=$ $\frac{P[AB(1-C)]}{1-P(C)}$ $=$ $\frac{P(AB-ABC)}{1-P(C)}$ $=$ $\frac{P(AB)-P(AB \cap ABC)}{1-P(C)}$ $=$ $\frac{P(AB)-P(ABC)}{1-P(C)}$ $=$ $\frac{\frac{1}{2}-0}{\frac{2}{3}}$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\times$ $\frac{3}{2}$ $=$ $\frac{3}{4}$.

综上可知,正确答案:$\frac{3}{4}$.

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2008 年研究生入学考试数学一选择题第 6 题解析

一、题目

设随机变量 $X$ 服从参数为 $1$ 的泊松分布,则 $P {X=E(X^{2})}$ $=$__.

二、解析

每年考研数学一试卷中填空题的最后一题基本都是考一个概率论中的知识。本题考察的知识很明确,就是:泊松分布。

泊松分布的概念如下:

设随机变量 $X$ 的概率分布为:


$P {X=k}$ $=$ $\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$ $(\lambda>0,k=0,1,2,3 \dots)$


则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布,记为 $X$ $\backsim$ $P(\lambda)$.

此外,在泊松分布中,数学期望 $E(X)$ $=$ $\lambda$, 方差 $D(X)$ $=$ $\lambda$.

最后,我们还需要知道 $E(X)$ 与 $D(X)$ 的关系公式:

$D(X)$ $=$ $E(X^{2})$ $-$ $[E(X)]^{2}$.

由题目信息可知,该题中泊松分布的参数 $\lambda=1$, 于是我们知道:

$E(X)$ $=$ $D(X)$ $=$ $1$.

由于题目中要求的表达式中含有 “$E(X^{2})$”, 而在 $E(X)$ 与 $D(X)$ 的关系式中也含有 “$E(X^{2})$”, 于是,我们有:

$E(X^{2})$ $=$ $D(X)$ $+$ $[E(X)]^{2}$.

进而有:

$E(X^{2})$ $=$ $1$ $+$ $1^{2}$ $=$ $1$ $+$ $1$ $=$ $2$.

于是,我们要求的表达式就变成了:

$P{X=E(X^{2})}$ $\Rightarrow$ $P{X=2}$.

至此,我们已经知道了泊松分布的计算公式中的两个未知量的数值,分别是:

$\lambda$ $=$ $1$, $k$ $=$ $E(X^{2})$ $=$ $2$.

于是,根据泊松分布的计算公式,我们有:

$P$ $=$ $\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$ $=$ $\frac{1^{2}e^{-1}}{2!}$ $=$ $\frac{e^{-1}}{2 \times 1}$ $=$ $\frac{1}{e}$ $\times$ $\frac{1}{2}$ $=$ $\frac{1}{2e}$.

综上可知,正确答案就是:$\frac{1}{2e}$.

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2017 年研究生入学考试数学一选择题第 7 题解析

一、题目

设 $A$, $B$ 为随机事件,若 $0$ $<$ $P(A)$ $<$ $1$, $0$ $<$ $P(B)$ $<$ $1$, 则 $P(A|B)$ $>$ $P(A|\bar{B})$ 的充分必要条件是 ( )

( A ) $P(B|A)$ $>$ $P(B|\bar{A})$.

( B ) $P(B|A)$ $<$ $P(B|\bar{A})$.

( C ) $P(\bar{B}|A)$ $>$ $P(B|\bar{A})$.

( D ) $P(\bar{B}|A)$ $<$ $p(B|\bar{A})$.

二、解析

本题中要找的是“充分必要条件”。根据充分必要条件的含义我们知道,如果事件 $A$ 和 $B$ 要满足充要条件就要有 $A$ $\rightarrow$ $B$ 且 $B$ $\rightarrow$ $A$.

但是,如果满足以下情况,也可以确定 $A$ 与 $B$ 是互相的充要条件:

设有事件 $A$, $B$, $C$, 当存在以下情况:

$A$ $\rightarrow$ $C$ 且 $C$ $\rightarrow$ $A$ 且 $B$ $\rightarrow$ $C$ 且 $C$ $\rightarrow$ $B$, 则 $A$ 与 $B$ 是互相的充要条件。

对于本题而言,直接把题目中所给的形式 $P(A|B)$ $>$ $P(A|\bar{B})$ 转换成选项中所给的形式,以及把选项中的形式转换成题目中所给的形式,可能难度比较大。这里我们可以考虑化简题目中所给的形式,之后再化简选项中所给的形式,由于化简过程中都是全程使用的等价符号,因此化简前的原式和化简后得到的形式是互为充要条件的,如果选项中的化简结果和题目中的化简结果一样,则可以说明它们之间存在互为充要条件的关系。

首先对题目中的原式进行化简,根据条件概率的公式,我们有:

$P(A|B)$ $>$ $P(A|\bar{B})$ $\Rightarrow$ $\frac{P(AB)}{P(B)}$ $>$ $\frac{P(A \bar{B})}{P(\bar{B})}$.

又因为:

$P(A \bar{B})$ $=$ $P[A(1-B)]$ $=$ $P(A-AB)$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(AAB)$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(AB)$.

所以有:

原式 $\Rightarrow$ $\frac{P(AB)}{P(B)}$ $>$ $\frac{P(A) – P(AB)}{1-P(B)}$ $\Rightarrow$ $P(AB)[1-P(B)]$ $>$ $P(B)[P(A)-P(AB)]$ $\Rightarrow$ $P(AB)$ $-$ $P(AB)P(B)$ $>$ $P(B)P(A)$ $-$ $P(B)P(AB)$ $\Rightarrow$ $P(AB)$ $>$ $P(A)P(B)$.

接下来,通过观察题目我们知道,$A$ 选项和 $B$ 选项的区别只是大于和小于符号,$C$ 选项和 $D$ 选项的区别也是如此。因此,我们只需要分别对 $A$ 选项和 $C$ 选项进行计算就可以确定哪个是正确选项了。

对 $A$ 选项进行化简:

$P(B|A)$ $>$ $P(B|\bar{A})$ $\Rightarrow$ $\frac{P(AB)}{P(A)}$ $>$ $\frac{P( \bar{A} B)}{P(\bar{A})}$.

又因为:

$P(\bar{A}B)$ $=$ $P[(1-A)B]$ $=$ $P(B-AB)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(ABB)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(AB)$.

所以有:

$\frac{P(AB)}{P(A)}$ $>$ $\frac{P(B) – P(AB)}{1-P(A)}$ $\Rightarrow$ $P(AB)[1-P(A)]$ $>$ $P(A)[P(B)$ $-$ $P(AB)]$ $\Rightarrow$ $P(AB)$ $-$ $P(AB)P(A)$ $>$ $P(A)P(B)$ $-$ $P(A)P(AB)$ $\Rightarrow$ $P(AB)$ $>$ $P(A)P(B)$.

由此,我们知道,$A$ 选项对,$B$ 选项错。

为了保险起见,我们可以在对 $C$ 选项做一个计算:

$P(\bar{B}|A)$ $>$ $P(B| \bar{A})$ $\Rightarrow$ $\frac{P(A \bar{B})}{P(A)}$ $>$ $\frac{P(\bar{A}B)}{P(\bar{A})}$ $\Rightarrow$ $P(A \bar{B})P(\bar{A})$ $>$ $P(\bar{A}B)P(A)$.

又因为:

$P(A \bar{B})$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(AB)$;

$P(\bar{A} B)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(AB)$.

所以有:

$[P(A)$ $-$ $P(AB)][1-P(A)]$ $>$ $[P(B)$ $-$ $P(AB)]P(A)$ $\Rightarrow$ $P(A)$ $-$ $P(A)P(A)$ $-$ $P(AB)$ $+$ $P(AB)P(A)$ $>$ $P(B)P(A)$ $-$ $P(AB)P(A)$ $\nRightarrow$ $P(AB)$ $>$ $P(A)P(B)$.

因此,可以知道,选项 $C$ 和 $D$ 都不正确。

综上可知,正确选项是:$A$.

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2014 年研究生入学考试数学一选择题第 7 题解析

一、题目

设随机事件 $A$ 与 $B$ 相互独立,且 $P(B)$ $=$ $0.5$ ,$P(A-B)$ $=$ $0.3$, 则 $P(B-A)$ $=$ ( )

( A ) $0.1$

( B ) $0.2$

( C ) $0.3$

( D ) $0.4$

二、解析

本题的关键点是“相互独立”,即 $A$ 事件与 $B$ 事件是两个相互独立的事件,$A$ 事件的发生不会影响 $B$, $B$ 事件的发生也不会影响 $A$. 由于 $A$ 事件的发生与否都不影响 $B$ 事件的发生与否,由此我们知道,若 $A$ 与 $B$ 相互独立,那么 $A$ 与 $\bar{B}$ 也相互独立,$B$ 与 $\bar{A}$ 同样相互独立。因此,我们可以在接下来的计算中,使用带有 $\bar{A}$ 和 $\bar{B}$ 的式子代替带有 $A$ 与 $B$ 的式子进行化简。

根据概率论中关于事件的独立性方面的相关知识,我们知道:

$A$与 $B$ 相互独立 $\Leftrightarrow$ $P(AB)$ $=$ $P(A)P(B)$.

综上,于是有:

$P(AB)$ $=$ $P(A)P(B)$;

$P(A \bar{B})$ $=$ $P(A)P(\bar{B})$;

$P(\bar{A}B)$ $=$ $P(\bar{A})P(B)$;

根据概率论减法公式,我们知道(这个公式没有设置 $A$ 和 $B$ 的关系,即是说,只要 $A$ 和 $B$ 是两个事件就是用这个公式计算,自然也可以应用于相互独立的事件。):

$P(B-A)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(AB)$.

题目中给出的条件有:

$P(B)$ $=$ $0.5$, $P(A-B)$ $=$ $0.3$

根据逆事件(对立事件)的知识,我们还知道:

$P(\bar{B})$ $=$ $1$ $-$ $P(B)$ $=$ $0.5$;

$P(B)$ $=$ $1$ $-$ $P(\bar{B})$ $=$ $0.5$.

于是,将 $P(A-B)$ 中的 $B$ 用 $\bar{B}$ 替换后得到:

$P(A-B)$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(AB)$ $=$ $P(A)$ $-$ $P[A(1-\bar{B})]$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(A-A \bar{B})$ $=$ $P(A)$ $-$ $[P(A)$ $-$ $P(AA \bar{B})]$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(A)$ $+$ $P(A \bar{B})$ $=$ $P(A \bar{B})$ $=$ $P(A)P(\bar{B})$ $=$ $P(A)$ $\cdot$ $0.5$ $=$ $0.3$.

注:由于 $A$ $\cap$ $A$ $=$ $A$, 即 $AA$ $=$ $A$, 所以:$P(A)$ $-$ $P(AA \bar{B})$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(A \bar{B})$, 下面的类似计算过程中将省略这一步。

于是有:$P(A)$ $=$ $\frac{0.3}{0.5}$ $=$ $0.6$.

又因为:

$P(B-A)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(AB)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P[(1- \bar{A})B]$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(B-\bar{A}B)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(B)$ $+$ $P(\bar{A}B)$ $=$ $P(\bar{A}B)$ $=$ $P(\bar{A})P(B)$.

由于,$P(A)$ $=$ $0.6$, 则,$P(\bar{A})$ $=$ $0.4$.

于是有:

$P(B-A)$ $=$ $P(\bar{A})P(B)$ $=$ $0.4$ $\cdot$ $0.5$ $=$ $0.2$.

综上可知,本题的正确选项是:$B$.

三、一个错误的解法

本文开头提到了,本题的关键点是“相互独立”。如果没有注意到这个关键点会发生什么呢?没有注意到这个关键点的话,可能会出现如下错误的思考方式和解法。

在概率论中有一个公式是下面这样的:

$P(B-A)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(A)$.

如果根据这个公式计算,那么本题将十分简单(数学一中也不会出这么“直观”的题吧 :-)):

已知:$P(B)$ $=$ $0.5$, $P(A-B)$ $=$ $0.3$, 那么:

$P(A-B)$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(B)$ $=$ $P(A)$ $-$ $0.5$ $=$ $0.3$ $\Rightarrow$ $P(A)$ $=$ $0.8$ $\Rightarrow$ $P(B-A)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(A)$ $=$ $0.5$ $-$ $0.8$ $=$ $-0.3$.

但是,我们观察选项可知,并没有哪个选项是 $-0.3$, 而且 $P(B-A)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(A)$ 这个公式是有前提条件的,那就是:

很显然,在独立事件中,不可能出现 $A$ $\subset$ $B$ 或者 $B$ $\subset$ $A$ 的情况。

因此我们知道,在使用一个公式前,一定要仔细审查,确保该公式的适用范围符合当前的解题环境,不能只是因为题目中的参数可以和公式中的参数对应就直接拿来使用。

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理解互斥事件与对立事件(图文)

先来看一下互斥事件与对立事件的定义。

互斥事件的定义:

互斥事件(互不相容):当 $AB$ $=$ $\varnothing$ (也可以写成 $A$ $\cap$ $B$ $=$ $\varnothing$)时,称事件 $A$ 与 事件$B$ 互不相容或互斥,事件 $A$, $B$ 不能同时发生.

对立事件的定义:

对立事件(逆事件):若 $A$ $\cup$ $B$ $=$ $\Omega$ 且 $A$ $\cap$ $B$ $=$ $\varnothing$, 则称 $A$ 与 $B$ 互为逆事件,也称互为对立事件. $A$ 的对立事件记为 $\bar{A}$.

总的来说,互斥事件是一个比对立事件更广泛一些的概念,这一点从互斥事件与对立事件各自的定义上也可以看出来。互斥事件只限制了 $A$ $\cap$ $B$ $=$ $\varnothing$, 而对立事件不仅限制了 $A$ $\cap$ $B$ $=$ $\varnothing$, 还限制了 $A$ $\cup$ $B$ $=$ $\Omega$. 很显然,互斥事件的限制范围更宽松,因此能表示的范围也更大。

我们可以将互斥事件和对立事件理解成包含和被包含的关系:

对立必然互斥,互斥不一定对立。

如果要用普通语言表述互斥事件与对立事件,那就是:

对立是要么一定且只能是我,要么就一定且只能是你;

互斥是如果不是我,则可能是你,也可能另外的其他人。

为了进一步辅助理解,我画了两张图,大致表示出了对立事件和互斥事件,如下。

图 1 表示 $A$ 与 $B$ 为对立事件时其相互之间的关系:

图 1. 对立事件示意图

图 2 表示 $A$ 与 $B$ 为互斥事件时其 相互之间的关系:

图 2. 互斥事件示意图

注:本文中的 “$\Omega$” 表示当前语境下的样本空间,即当前语境下所有样本点组成的集合。

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