2018年考研数二第22题解析：二次型、齐次线性方程组、二次型的规范型

题目

设实二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=$ $(x_1–x_2+x_3{)}^2+$ $(x_2+x_3{)}^2+$ $(x_1+a{x}_3{)}^2$, 其中 $a$ 是参数.

$(\mathrm{Ⅰ})$ 求 $f(x_1,x_2,x_3)=0$ 的解;

$(\mathrm{Ⅱ})$ 求 $f(x_1,x_2,x_3)$ 的规范型.

解析

第 $(\mathrm{Ⅰ})$ 问

使 $f(x_1,x_2,x_3)=$ $(x_1–x_2+x_3{)}^2+$ $(x_2+x_3{)}^2+$ $(x_1+a{x}_3{)}^2=0$ 的充分必要条件是：

$$\{\begin{array}{c}{x}_1–x_2+x_3=0;\\ x_2+x_3=0;\\ x_1+a{x}_3=0\end{array}\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{c}{x}_1–x_2+x_3=0;\\ 0x_1+x_2+x_3=0;\\ x_1+0x_2+a{x}_3=0\end{array}\Rightarrow$$

$$\mathrm{提}\mathrm{取}\mathrm{系}\mathrm{数}\mathrm{矩}\mathrm{阵}\mathrm{后}，\mathrm{可}\mathrm{转}\mathrm{换}\mathrm{为}\Rightarrow$$

$$\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& a\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=0\Rightarrow$$

$$\mathrm{对}\mathrm{系}\mathrm{数}\mathrm{矩}\mathrm{阵}\mathrm{做}\mathrm{初}\mathrm{等}\mathrm{行}\mathrm{变}\mathrm{换}\Rightarrow$$

$$\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& a–2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=0.$$

于是，当 $a\ne 2$ 时，$f(x_1,x_2,x_3)=0$ 只有零解：

$$\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right].$$

当 $a=2$ 时，有：

$$\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& a–2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=0\Rightarrow$$

$$\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=0.$$

此时，$f(x_1,x_2,x_3)=0$ 的解为：

$$k\left[\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 1\end{array}\right].$$

其中，$k$ 为任意常数.

第 $(\mathrm{Ⅱ})$ 问

由第 $(\mathrm{Ⅰ})$ 问的计算可知，要求解 $f(x_1,x_2,x_3)$ 的规范型，必须分别对 $a=0$ 和 $a\ne 0$ 这两种情况进行讨论.

首先，对于 $f(x_1,x_2,x_3)=$ $(x_1–x_2+x_3{)}^2+$ $(x_2+x_3{)}^2+$ $(x_1+a{x}_3{)}^2$, 必有：

$$\{\begin{array}{c}(x_1–x_2+x_3{)}^2⩾0;\\ (x_2+x_3{)}^2⩾0;\\ (x_1+a{x}_3{)}^2⩾0.\end{array}\Rightarrow$$

$$f(x_1,x_2,x_3)⩾0.$$

又由第 $(\mathrm{Ⅰ})$ 问的计算结果可知，当 $a\ne 2$ 时，只有 $x_1$, $x_2$ 和 $x_3$ 同时都等于零，才能使 $f(x_1,x_2,x_3)=0$ 成立。

因此，当 $x_1$, $x_2$ 和 $x_3$ 全都不等于零，且 $a\ne 2$ 时，必有：

$$f(x_1,x_2,x_3)>0.$$

于是可知，当 $a\ne 2$ 时，二次型 $f(x_1,x_2,x_3)$ 是一个正定二次型，即该二次型对应的特征值全部为正数，正惯性指数为 $3$.

因此，当 $a\ne 2$ 时，$f(x_1,x_2,x_3)$ 的规范型为：

$$y_1^2+y_2^2+y_3^2.$$

而当 $a=2$ 时，有：

$$f(x_1,x_2,x_3)=$$

$$(x_1–x_2+x_3{)}^2+(x_2+x_3{)}^2+(x_1+a{x}_3{)}^2\Rightarrow$$

$$(x_1–x_2+x_3{)}^2+(x_2+x_3{)}^2+(x_1+2x_3{)}^2\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{c}(x_1–x_2+x_3{)}^2=x_1^2+x_2^2–2x_1{x}_2+x_3^2+2x_1{x}_3–2x_2{x}_3;\\ (x_2+x_3{)}^2=x_2^2+x_3^2+2x_2{x}_3;\\ (x_1+2x_3{)}^2=x_1^2+4x_3^2+4x_1{x}_3.\end{array}\Rightarrow$$

$$f(x_1,x_2,x_3)=$$

$$2x_1^2+2x_2^2+6x_3^2–2x_1{x}_2+6x_1{x}_3\Rightarrow$$

$$f(x_1,x_2,x_3)=$$

$$(x_1,x_2,x_3)\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ -1& 2& 0\\ 3& 0& 6\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$|\lambda E–A|=0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}\lambda –2& 1& -3\\ 1& \lambda –2& 0\\ -3& 0& \lambda –6\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$(\lambda –6)(\lambda –2{)}^2–9(\lambda –2)–(\lambda –6)=0\Rightarrow$$

$$(\lambda –2)[{\lambda }^2–8\lambda +3]–\lambda +6=0\Rightarrow$$

$$\lambda ({\lambda }^2–10\lambda +18)=0\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{c}{\lambda }_1=0\\ {\lambda }_2=5+\sqrt{7}>0\\ {\lambda }_3=5–\sqrt{7}>0.\end{array}$$

于是可知，当 $a=2$ 时，$f(x_1,x_2,x_3)$ 的正惯性指数为 $2$.

因此，当 $a=2$ 时，$f(x_1,x_2,x_3)$ 的规范型为：

$$y_1^2+y_2^2.$$