2017年考研数二第23题解析:二次型、标准型、特征值与特征向量

题目

设二次型 f(x1,x2,x3)= 2x12 x22+ ax32+ 2x1x2 8x1x3+ 2x2x3 在正交变换 x=Qy 下的标准型为 λ1y12+ λ2y22, 求 a 的值及一个正交矩阵 Q.

解析

若设二次型 f 对应的矩阵为 A, 则由题可得:

A=[21411141a]

A=[30311130a+1]

A=[30311100a2].

又由于二次型 f 的标准型为 λ1y12+ λ2y22, 因此可知,λ3=0, 即 r(A)<3, 于是:

r(A)<3

|A|=0

a2=0

a=2.

于是:

A=[214111412].

接着,由 |λEA|=0 可得:

|λ2141λ+1141λ2|=0

|λ606λ1λ+1104λ+3λ6|=0

(λ6)2(λ+1)+2(4λ+3)(λ6)

(λ6)[(λ6)(λ+1)+2(4λ+3)]

(λ6)[λ25λ6+8λ+6]

(λ6)(λ+3)λ=0

λ1=6,λ2=3,λ3=0.

又:

(λ1EA)

(6EA)

[414171414]

[414010000].

于是:

λ1=6 对应的特征向量为:

α1=[101].

又:

(λ2EA)

(3EA)

[514121415]

[101011000].

于是:

λ2=3 对应的特征向量为:

α2=[111].

又:

(λ3EA)

(0EA)

[214111412]

[101012000].

于是:

λ3=0 对应的特征向量为:

α3=[121].

综上,由于 λ1λ2λ3, 于是,特征向量 α1, α2, α3 一定相互正交,我们只需要将这三个特征向量单位化即可:

γ1=12[101]=[12012].

γ2=13[111]=[131313].

γ3=16[121]=[162616]

综上可知,正交矩阵为:

Q=[12131601326121316].

与正交矩阵 Q 对应的标准型为:

6y13y2.


荒原之梦网全部内容均为原创,提供了涵盖考研数学基础知识、考研数学真题、考研数学练习题和计算机科学等方面,大量精心研发的学习资源。

豫 ICP 备 17023611 号-1 | 公网安备 - 荒原之梦 豫公网安备 41142502000132 号 | SiteMap
Copyright © 2017-2024 ZhaoKaifeng.com 版权所有 All Rights Reserved.

Copyright © 2024   zhaokaifeng.com   All Rights Reserved.
豫ICP备17023611号-1
 豫公网安备41142502000132号

荒原之梦 自豪地采用WordPress