题目
设二次型 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) =$ $2x_{1}^{2} -$ $x_{2}^{2} +$ $ax_{3}^{2} +$ $2x_{1}x_{2} -$ $8x_{1}x_{3} +$ $2x_{2}x_{3}$ 在正交变换 $x = Qy$ 下的标准型为 $\lambda_{1}y_{1}^{2} +$ $\lambda_{2} y_{2}^{2}$, 求 $a$ 的值及一个正交矩阵 $Q$.
解析
若设二次型 $f$ 对应的矩阵为 $A$, 则由题可得：
$$
A = \begin{bmatrix}
2 & 1 & -4\\
1 & -1 & 1\\
-4 & 1 & a
\end{bmatrix}
\Rightarrow
$$
$$
初等行变换 \Rightarrow
$$
$$
A = \begin{bmatrix}
3 & 0 & -3\\
1 & -1 & 1\\
-3 & 0 & a+1
\end{bmatrix}
\Rightarrow
$$
$$
初等行变换 \Rightarrow
$$
$$
A = \begin{bmatrix}
3 & 0 & -3\\
1 & -1 & 1\\
0 & 0 & a-2
\end{bmatrix}.
$$
又由于二次型 $f$ 的标准型为 $\lambda_{1}y_{1}^{2} +$ $\lambda_{2} y_{2}^{2}$, 因此可知，$\lambda_{3} = 0$, 即 $r(A) < 3$, 于是：
$$
r(A) < 3 \Rightarrow
$$
$$
|A| = 0 \Rightarrow
$$
$$
a -2 = 0 \Rightarrow
$$
$$
a = 2.
$$
于是：
$$
A = \begin{bmatrix}
2 & 1 & -4\\
1 & -1 & 1\\
-4 & 1 & 2
\end{bmatrix}.
$$
接着，由 $|\lambda E – A| = 0$ 可得：
$$
\begin{vmatrix}
\lambda – 2 & -1 & 4\\
-1 & \lambda + 1 & -1\\
4 & -1 & \lambda – 2
\end{vmatrix} = 0 \Rightarrow
$$
$$
\begin{vmatrix}
\lambda – 6 & 0 & 6 – \lambda\\
-1 & \lambda + 1 & -1\\
0 & 4 \lambda + 3 & \lambda – 6
\end{vmatrix} = 0 \Rightarrow
$$
$$
(\lambda – 6)^{2}(\lambda + 1) + 2 (4 \lambda + 3)(\lambda – 6) \Rightarrow
$$
$$
(\lambda – 6)[(\lambda – 6)(\lambda + 1) + 2(4\lambda + 3)] \Rightarrow
$$
$$
(\lambda – 6)[\lambda ^{2} – 5 \lambda – 6 + 8 \lambda + 6] \Rightarrow
$$
$$
(\lambda – 6) (\lambda + 3) \lambda = 0 \Rightarrow
$$
$$
\lambda_{1} = 6, \lambda_{2} = -3, \lambda_{3} = 0.
$$
又：
$$
(\lambda_{1} E – A) \Rightarrow
$$
$$
(6E – A) \Rightarrow
$$
$$
\begin{bmatrix}
4 & -1 & 4\\
-1 & 7 & -1\\
4 & -1 & 4
\end{bmatrix}
\Rightarrow
$$
$$
\begin{bmatrix}
4 & -1 & 4\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}.
$$
于是：
$\lambda_{1} = 6$ 对应的特征向量为：
$$
\alpha_{1} =\begin{bmatrix}
-1\\
0\\
1
\end{bmatrix}.
$$
又：
$$
(\lambda_{2} E – A) \Rightarrow
$$
$$
(-3E – A) \Rightarrow
$$
$$
\begin{bmatrix}
-5 & -1 & 4\\
-1 & -2 & -1\\
4 & -1 & -5
\end{bmatrix}
\Rightarrow
$$
$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}.
$$
于是：
$\lambda_{2} = -3$ 对应的特征向量为：
$$
\alpha_{2} =\begin{bmatrix}
1\\
-1\\
1
\end{bmatrix}.
$$
又：
$$
(\lambda_{3} E – A) \Rightarrow
$$
$$
(0E – A) \Rightarrow
$$
$$
\begin{bmatrix}
-2 & -1 & 4\\
-1 & 1 & -1\\
4 & -1 & – 2
\end{bmatrix}
\Rightarrow
$$
$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1\\
0 & 1 & -2\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}.
$$
于是：
$\lambda_{3} = 0$ 对应的特征向量为：
$$
\alpha_{3} = \begin{bmatrix}
1\\
2\\
1
\end{bmatrix}.
$$
综上，由于 $\lambda_{1} \neq \lambda_{2} \neq \lambda_{3}$, 于是，特征向量 $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$, $\alpha_{3}$ 一定相互正交，我们只需要将这三个特征向量单位化即可：
$$
\gamma_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}
-1\\
0\\
1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\frac{-1}{\sqrt{2}}\\
0\\
\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{bmatrix}.
$$
$$
\gamma_{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix}
1\\
-1\\
1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{3}}\\
\frac{-1}{\sqrt{3}}\\
\frac{1}{\sqrt{3}}
\end{bmatrix}.
$$
$$
\gamma_{3} = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix}
1\\
2\\
1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{6}}\\
\frac{2}{\sqrt{6}}\\
\frac{1}{\sqrt{6}}
\end{bmatrix}
$$
综上可知，正交矩阵为：
$$
Q = \begin{bmatrix}
\frac{-1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\
0 & \frac{-1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{6}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}}
\end{bmatrix}.
$$
与正交矩阵 $Q$ 对应的标准型为：
$$
6 y_{1} – 3 y_{2}.
$$