首页 » 考研数学 » 线性代数 » 2017年考研数二第23题解析:二次型、标准型、特征值与特征向量
题目
设二次型 在正交变换 下的标准型为 , 求 的值及一个正交矩阵 .
解析
若设二次型 对应的矩阵为 , 则由题可得:
又由于二次型 的标准型为 , 因此可知,, 即 , 于是:
于是:
接着,由 可得:
又:
于是:
对应的特征向量为:
又:
于是:
对应的特征向量为:
又:
于是:
对应的特征向量为:
综上,由于 , 于是,特征向量 , , 一定相互正交,我们只需要将这三个特征向量单位化即可:
综上可知,正交矩阵为:
与正交矩阵 对应的标准型为: