题目
设 $y(x)$ 是区间 $(0, \frac{3}{2})$ 内的可导函数，且 $y(1) = 0$. 点 $P$ 是曲线 $l: y = y(x)$ 上的任意一点，$l$ 在点 $P$ 处的切线与 $y$ 轴相交于点 $(0, Y_{p})$, 法线与 $x$ 轴交于点 $(X_{p}, 0)$. 若 $X_{p} = Y_{p}$, 求 $l$ 上点的坐标 $(x, y)$ 满足的方程。
解析
由题可知，本题就是让求解曲线 $l$ 的表达式，我们由已知条件逐渐切入即可。
由于已知 $X_{p} = Y_{p}$, 因此，我们的首要任务就是分别求解出 $X_{p}$ 和 $Y_{p}$, 过程如下：
由题可知，根据直线方程的点斜式表示法，曲线 $l$ 的「切线」方程可表示为：
$$
{\color{Red}
Y – y = y^{‘} (X – x)} \quad {\color{White}①} \Rightarrow
$$
注：
[1]. 在 $①$ 式中，$X$ 和 $Y$ 表示该切线上的未知变量，$x$ 和 $y$ 则表示曲线 $l$ 上的“已知”变量。
$$
{\color{White}令 X = 0} \Rightarrow
$$
$$
Y – y = – x y^{‘} \Rightarrow
$$
$$
{\color{Red}
Y = Y_{p} = y – x y^{‘} }. \quad {\color{White}②}
$$
由题可知，根据直线方程的点斜式表示法，曲线 $l$ 的「法线」方程可表示为：
$$
{\color{Red}
Y – y = \frac{-1}{y^{‘}} (X – x)} \quad {\color{White}③} \Rightarrow
$$
注：
[1]. 在 $③$ 式中，$X$ 和 $Y$ 表示该切线上的未知变量，$x$ 和 $y$ 则表示曲线 $l$ 上的“已知”变量。
$$
{\color{White}令 Y = 0} \Rightarrow
$$
$$
-y = \frac{-1}{y^{‘}} (X – x) \Rightarrow
$$
$$
-y = \frac{x}{y^{‘}} – \frac{X}{y^{‘}} \Rightarrow
$$
$$
\frac{X}{y^{‘}} = \frac{x}{y^{‘}} + y \Rightarrow
$$
$$
{\color{Red} X = X_{p} = x + yy^{‘} }. \quad {\color{White} ④ }
$$
联立 $③$ 式与 $④$ 式，可得：
$$
\left\{\begin{matrix}
Y_{p} = y – x y^{‘};\\
X_{p} = x + yy^{‘}.
\end{matrix}\right.
$$
又：
$$
X_{p} = Y_{p}.
$$
于是：
$$
{\color{Red}
x + yy^{‘} = y – x y^{‘}}. \Rightarrow
$$
$$
(x + y)y^{‘} = y – x
$$
$$
y^{‘} = \frac{y – x}{ y + x} \Rightarrow
$$
$$
{\color{Red}
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{y – x}{ y + x}}. \quad {\color{White}⑤}
$$
注：
[1]. 由于 $y$ 是 $x$ 的函数，即变量 $y$ 中有隐含着的变量 $x$, 而我们此时还不知道 $x$ 和 $y$ 之间的相互关系，因此，我们不能通过在 $⑤$ 式等号两端同时做积分运算的方式消去 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$;
[2]. 为了解决上面 $[1]$ 中提到的变量隐含的问题，我们必须用另一个变量，把 $x$ 和 $y$ 作为一个整体替换掉，也就是使用变量替换的方式，使所有隐含变量要么被完全掩盖掉，不在接下来的计算中发挥作用，要么就完全显现出来。
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{y – x}{ y + x} \Rightarrow
$$
$$
{\color{Red}
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{\frac{y}{x} – 1}{ \frac{y}{x} + 1} }. \quad {\color{White}⑥}
$$
令 $u = \frac{y}{x}$, 则：
$$
y = ux \Rightarrow
$$
$$
{\color{Red}
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = (ux)^{‘}_{x} = u + x \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}}. \quad {\color{White}⑦}
$$
且：
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{\frac{y}{x} – 1}{ \frac{y}{x} + 1} \Rightarrow
$$
$$
{\color{Red}
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{u – 1}{u + 1} }. \quad {\color{White}⑧}
$$
联立 $⑦$ 式与 $⑧$ 式可得：
$$
\left\{\begin{matrix}
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = u + x \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x};\\
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{u – 1}{u + 1}.
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
$$
$$
u + x \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} = \frac{u – 1}{u + 1} \Rightarrow
$$
$$
u – \frac{u – 1}{u + 1} = \frac{-x}{\mathrm{d} x} \cdot \mathrm{d} u \Rightarrow
$$
$$
\frac{u^{2} + 1}{u + 1} = \frac{-x}{\mathrm{d} x} \cdot \mathrm{d} u \Rightarrow
$$
$$
\frac{u^{2} + 1}{u + 1} \cdot \frac{1}{\mathrm{d} u} = \frac{-x}{\mathrm{d} x} \Rightarrow
$$
$$
{\color{Red}
\frac{u + 1}{u^{2} + 1} \mathrm{d} u = \frac{-1}{x} \mathrm{d} x} \Rightarrow
$$
$$
等号两边同时计算积分 \Rightarrow
$$
$$
\int \frac{u + 1}{u^{2} + 1} \mathrm{d} u = \int \frac{-1}{x} \mathrm{d} x \Rightarrow
$$
$$
\int \frac{u}{u^{2} + 1} \mathrm{d} u + \int \frac{1}{u^{2} + 1} \mathrm{d} u = \int \frac{-1}{x} \mathrm{d} x \Rightarrow
$$
$$
\frac{1}{2} \ln (u^{2} + 1) + \arctan u = – \ln |x| + C \Rightarrow
$$
$$
\frac{1}{2} \ln (u^{2} + 1) + \arctan u = \frac{-1}{2} \ln x^{2} + C \Rightarrow
$$
$$
\frac{1}{2} \ln (u^{2} + 1) + \frac{1}{2} \ln x^{2} + \arctan u = C \Rightarrow
$$
$$
\frac{1}{2} \Big[\ln (u^{2} + 1) + \ln x^{2} \Big] + \arctan u = C \Rightarrow
$$
$$
将 u = \frac{y}{x} 代入 \Rightarrow
$$
$$
\frac{1}{2} \Big[\ln (\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}) + \ln x^{2} \Big] + \arctan \frac{y}{x} = C \Rightarrow
$$
$$
{\color{Red}
\frac{1}{2} \ln (x^{2} + y^{2}) + \arctan \frac{y}{x} = C} \Rightarrow
$$
$$
将 x = 1 时 y = 0 代入 \Rightarrow
$$
$$
\frac{1}{2} \ln 1 + \arctan 0 = C \Rightarrow
$$
$$
C = 0.
$$
于是，曲线 $l$ 上点的坐标 $(x, y)$ 满足的方程为：
$$
\frac{1}{2} \ln (x^{2} + y^{2}) + \arctan \frac{y}{x} = C \Rightarrow
$$
$$
\frac{1}{2} \ln (x^{2} + y^{2}) + \arctan \frac{y}{x} = 0.
$$