2015年考研数二第23题解析:相似矩阵、矩阵的相似对角化

题目

设矩阵 A=[02313312a] 相似于矩阵 B=[1200b0031].

()a, b 的值;

() 求可逆矩阵 P, 使 P1AP 为对角矩阵.

解析

()

由于 AB, 于是:

|A|=|B|tr(A)=tr(B)

|A|=|B|

66+9+2a=b

2a3=b.

tr(A)=tr(B)

a+3=b+2

b=a+1.

结合 式与 式,可得:

a=4,b=5.

()

由第 () 问,可知:

A=[023133124];

B=[120050031].

于是:

|λEB|=0

|λ1200λ5003λ1|=0

(λ1)2(λ5)=0

λ1=λ2=1,λ3=5.

由于 AB, 所以,矩阵 A 与矩阵 B 拥有相同的特征值,即矩阵 A 的特征值也为:

λ1=λ2=1,λ3=5.

接着,将 λ1=λ2=1 代入 (λEA)X=0, 得:

(λEA)X=0

(EA)X=0

EA=

[123123123]

[123000000].

即,在矩阵 A 中,属于特征值 λ1=λ2=1 的两个线性无关的特征向量分别为:

α1=[210];

α2=[301].

同样的,将 λ3=5 代入 (λEA)X=0, 得:

(λEA)X=0

(5EA)X=0

5EA

[523123121]

[101011000].

即,在矩阵 A 中,属于特征值 λ3=5 的特征向量为:

α3=[111]

综上,当矩阵 P=(α1,α2,α3), 即 P=[231101011] 时,可使 P1AP 为对角矩阵,且:

P1AP=[115].


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