题目
已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为 $120$ ℃ 的物体在 $20$ ℃ 的恒温介质中冷却，$30$ min 后该物体温度降至 $30$ ℃, 若要将该物体的温度降至 $21$ ℃, 还需要冷却多长时间？
解析
设物体的温度为 $T(t)$, 对应的时刻为 $t$, 则，由题可得：
$$
\frac{{\rm d}T(t)}{{\rm d}t} = – k [T(t) – 20], k > 0.
$$
注：
[1]. 在下文中，有时会把 $T(t)$ 简写为 $T$.
即：
$$
\frac{{\rm d}T(t)}{{\rm d}t} = – k [T(t) – 20] \Rightarrow
$$
$$
\frac{{\rm d}T}{{\rm d}t} = – k [T – 20] \Rightarrow
$$
$$
\frac{{\rm d}T}{{\rm d}t} = – kT + 20k \Rightarrow
$$
$$
\frac{{\rm d}T}{{\rm d}t} + kT = 20k \Rightarrow
$$
$$
T^{‘} + k T = 20k, k > 0.
$$
接着，由一阶线性微分方程的求解公式，可得：
$$
T(t) = [\int 20k \cdot e^{\int k {\rm d}t} {\rm d}t + C] \cdot e^{-\int k {\rm d}t} \Rightarrow
$$
$$
T(t) = [20k \int e^{\int k {\rm d}t} {\rm d}t + C] \cdot e^{-\int k {\rm d}t} \Rightarrow
$$
$$
T(t) = [20k \int e^{kt} {\rm d}t + C] \cdot e^{-kt} \Rightarrow
$$
$$
T(t) = [20k \cdot \frac{1}{k} e^{kt} + C] \cdot e^{-kt} \Rightarrow
$$
$$
T(t) = 20k \cdot \frac{1}{k} e^{kt} \cdot e^{-kt} {\rm d}t + C \cdot e^{-kt} \Rightarrow
$$
$$
T(t) = 20 + C \cdot e^{-kt}. ①
$$
将 $t=0$ 时 $T=120$ 代入 $①$ 式，可得：
$$
T(0) = 20 + C = 120 \Rightarrow
$$
$$
C = 100.
$$
将 $t = 30$ 时，$T = 30$, 以及 $C = 100$ 代入 $①$ 式，可得：
$$
T(30) = 20 + 100 \cdot e^{-30 k} = 30 \Rightarrow
$$
$$
100 \cdot e^{-30 k} = 10 \Rightarrow
$$
$$
10 \cdot e^{-30 k} = 1 \Rightarrow
$$
$$
e^{-30 k} = \frac{1}{10} \Rightarrow
$$
$$
(-1) \cdot 30k = \log_{e}^{10^{-1}} \Rightarrow
$$
$$
(-1) \cdot 30k = \ln{10^{-1}} \Rightarrow
$$
$$
(-1) \cdot 30k = (-1) \cdot \ln{10} \Rightarrow
$$
$$
30k = \ln{10} \Rightarrow
$$
$$
k = \frac{\ln{10}}{30}, k > 0.
$$
于是，有：
$$
T(t) = 100 e^{\frac{-\ln{10}}{30} \cdot t} + 20.
$$
则，当 $T(t) = 21$ 时，有：
$$
T(t) = 21 = 100 e^{\frac{-\ln{10}}{30} \cdot t} + 20 \Rightarrow
$$
$$
100 e^{\frac{-\ln{10}}{30} \cdot t} = 1 \Rightarrow
$$
$$
e^{\frac{-\ln{10}}{30} \cdot t} = \frac{1}{100} \Rightarrow
$$
$$
\ln 100^{-1} = \frac{-\ln{10}}{30} \cdot t \Rightarrow
$$
$$
(-1) \cdot \ln 100 = \frac{-\ln{10}}{30} \cdot t \Rightarrow
$$
$$
\ln 100 = \frac{\ln{10}}{30} \cdot t \Rightarrow
$$
$$
t = \ln 100 \cdot \frac{30}{\ln 10} \Rightarrow
$$
$$
t = 30 \cdot \log_{10}^{100} \Rightarrow
$$
$$
t = 30 \cdot 2 = 60.
$$
综上可知，若要将该物体的温度降至 $21$ ℃, 还需要冷却 $60 – 30 = 30$ 分钟。