2013年考研数二第23题解析：二次型、二次型的标准型

题目

设二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) =$ $2 (a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + a_{3} x_{3})^{2} +$ $(b_{1} x_{1} + b_{2} x_{2} + b_{3} x_{3})^{2}$ ,

记 $α = [\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}]$ , $β = [\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}]$ ,

$(Ⅰ)$ 证明：二次型 $f$ 对应的矩阵为 $2 α α^{⊤} + β β^{⊤}$

$(Ⅱ)$ 若 $α$ , $β$ 正交且均为单位向量，证明： $f$ 在正交变换下的标准形为 $2 y_{1}^{2} + y_{2}^{2}$ .

解析

第 $(Ⅰ)$ 问

方法一

该方法的思路就是，先将 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) =$ $2 (a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + a_{3} x_{3})^{2} +$ $(b_{1} x_{1} + b_{2} x_{2} + b_{3} x_{3})^{2}$ 展开成一般形式，之后，再根据题目条件计算出 $2 α α^{⊤} + β β^{⊤}$ , 对比之后即可证明。

该方法的思路很容易想，但是计算量较大，计算过程中容易出错。

由题可得：

$f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) \Rightarrow$

$2 (a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + a_{3} x_{3})^{2} + (b_{1} x_{1} + b_{2} x_{2} + b_{3} x_{3})^{2} \Rightarrow$

$2 [(a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2})^{2} + a_{3}^{2} x_{3}^{2} + 2 a_{3} x_{3} (a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2})] +$

$[(b_{1} x_{1} + b_{2} x_{2})^{2} + b_{3}^{2} x_{3}^{2} + 2 b_{3} x_{3} (b_{1} x_{1} + b_{2} x_{2})] \Rightarrow$

$2 [a_{1}^{2} x_{1}^{2} + a_{2}^{2} x_{2}^{2} + 2 a_{1} a_{2} x_{1} x_{2} + a_{3}^{2} x_{3}^{2} + 2 a_{1} a_{3} x_{1} x_{3} + 2 a_{2} a_{3} x_{2} x_{3}] +$

$[b_{1}^{2} x_{1}^{2} + b_{2}^{2} x_{2}^{2} + 2 b_{1} b_{2} x_{1} x_{2} + b_{3}^{2} x_{3}^{2} + 2 b_{1} b_{3} x_{1} x_{3} + 2 b_{2} b_{3} x_{2} x_{3}] \Rightarrow$

$2 a_{1}^{2} x_{1}^{2} + 2 a_{2}^{2} x_{2}^{2} + 4 a_{1} a_{2} x_{1} x_{2} + 2 a_{3}^{2} x_{3}^{2} + 4 a_{1} a_{3} x_{1} x_{3} + 4 a_{2} a_{3} x_{2} x_{3} +$

$b_{1}^{2} x_{1}^{2} + b_{2}^{2} x_{2}^{2} + 2 b_{1} b_{2} x_{1} x_{2} + b_{3}^{2} x_{3}^{2} + 2 b_{1} b_{3} x_{1} x_{3} + 2 b_{2} b_{3} x_{2} x_{3} \Rightarrow$

$(2 a_{1}^{2} + b_{1}^{2}) x_{1}^{2} + (2 a_{2}^{2} + b_{2}^{2}) x_{2}^{2} + (2 a_{3}^{2} + b_{3}^{2}) x_{3}^{2} +$

$(4 a_{1} a_{2} + 2 b_{1} b_{2}) x_{1} x_{2} + (4 a_{1} a_{3} + 2 b_{1} b_{3}) x_{1} x_{3} + (4 a_{2} a_{3} + 2 b_{2} b_{3}) x_{2} x_{3} .$

又：

$2 α α^{⊤} + β β^{⊤} \Rightarrow$

$2 [\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}] [\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \end{matrix}] + [\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}] [\begin{matrix} b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix}] \Rightarrow$

$2 [\begin{matrix} a_{1}^{2} & a_{1} a_{2} & a_{1} a_{3} \\ a_{1} a_{2} & a_{2}^{2} & a_{2} a_{3} \\ a_{1} a_{3} & a_{2} a_{3} & a_{3}^{2} \end{matrix}] + [\begin{matrix} b_{1}^{2} & b_{1} b_{2} & b_{1} b_{3} \\ b_{1} b_{2} & b_{2}^{2} & b_{2} b_{3} \\ b_{1} b_{3} & b_{2} b_{3} & b_{3}^{2} \end{matrix}] \Rightarrow$

$[\begin{matrix} 2 a_{1}^{2} + b_{1}^{2} & 2 a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} & 2 a_{1} a_{3} + b_{1} b_{3} \\ 2 a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} & 2 a_{2}^{2} + b_{2}^{2} & 2 a_{2} a_{3} + b_{2} b_{3} \\ 2 a_{1} a_{3} + b_{1} b_{3} & 2 a_{2} a_{3} + b_{2} b_{3} & 2 a_{3}^{2} + b_{3}^{2} \end{matrix}] .$

观察上面的运算结果可知，二次型 $f$ 对应的矩阵为 $2 α α^{⊤} + β β^{⊤}$ .

方法二

令：

$x = [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}]$

于是，有：

$f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) \Rightarrow$

$2 (a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + a_{3} x_{3})^{2} + (b_{1} x_{1} + b_{2} x_{2} + b_{3} x_{3})^{2} \Rightarrow$

$2 (a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + a_{3} x_{3}) \cdot (x_{1} a_{1} + x_{2} a_{2} + x_{3} a_{3}) +$

$(b_{1} x_{1} + b_{2} x_{2} + b_{3} x_{3}) \cdot (x_{1} b_{1} + x_{2} b_{2} + x_{3} b_{3}) \Rightarrow$

$2 {[\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}] x^{⊤}} \cdot {x [\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \end{matrix}]} +$

${[\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}] x^{⊤}} \cdot {x [\begin{matrix} b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix}]} \Rightarrow$

$2 x^{⊤} {[\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}] [\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \end{matrix}]} x + x^{⊤} {[\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}] [\begin{matrix} b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix}]} x \Rightarrow$

$x^{⊤} {2 [\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}] [\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \end{matrix}] + [\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}] [\begin{matrix} b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix}]} x \Rightarrow$

$x^{⊤} (2 α α^{⊤} + β β^{⊤}) x .$

又由定义可知，若二次型的矩阵为 $A$ , 则二次型 $f = x^{⊤} A x$ , 若令 $A = 2 α α^{⊤} + β β^{⊤}$ , 则可知，二次型 $f$ 对应的矩阵为 $2 α α^{⊤} + β β^{⊤}$ . 于是，本题得证。

第 $(Ⅱ)$ 问

由 $α$ 与 $β$ 正交可知：

$(α, β) = α^{⊤} β = 0;$

$(β, α) = β^{⊤} α = 0.$

又由 $α$ 与 $β$ 均为单位向量可知：

$α α^{⊤} = E; α^{⊤} α = 1;$

$β β^{⊤} = E; β^{⊤} β = 1.$

又设：

$A = 2 α α^{⊤} + β β^{⊤} .$

则：

$A α = (2 α α^{⊤} + β β^{⊤}) α \Rightarrow$

$A α = 2 α (α^{⊤} α) + β (β^{⊤} α) \Rightarrow$

$A α = 2 α \cdot 1 + β \cdot 0.$

$A α = 2 α .$

$A β = (2 α α^{⊤} + β β^{⊤}) β \Rightarrow$

$A β = 2 α (α^{⊤} β) + β (β^{⊤} β) \Rightarrow$

$A β = 2 α \cdot 0 + β \cdot 1 \Rightarrow$

$A β = β .$

于是可知：

$α$ 为矩阵 $A$ 属于特征值 $λ_{1} = 2$ 的特征向量；

$β$ 为矩阵 $A$ 属于特征值 $λ_{2} = 1$ 的特征向量。

又：

$r (A) = r (2 α α^{⊤} + β β^{⊤}) ⩽ [r (2 α α^{⊤}) + r (β β^{⊤})] .$

且：

$[r (2 α α^{⊤}) + r (β β^{⊤})] = [r (E) + r (E)] = 1 + 1 = 2.$

即：

$r (A) = 2 < 3.$

因此，根据矩阵的秩与矩阵的特征值之间的关系可知，矩阵 $A$ 必存在一个 $λ_{3} = 0$ 的特征值。

结合定义，综上可知，二次型 $f$ 在正交变换下的标准形为 $2 y_{1}^{2} + y_{2}^{2}$ .

题目

解析

第 Ⅰ(Ⅰ) 问

方法一

方法二

第 Ⅱ(Ⅱ) 问

相关文章：

第 $(Ⅰ)$ 问

第 $(Ⅱ)$ 问