2013年考研数二第22题解析:矩阵、非齐次线性方程组求解

题目

A=[1a10], B=[011b],

a, b 为何值时,存在矩阵 C 使得 ACCA=B, 并求所有矩阵 C.

解析

设矩阵 C=[x1x2x3x4], 则有:

AC=[1a10][x1x2x3x4]

AC=[x1+ax3x2+ax4x1x2].

CA=[x1x2x3x4][1a10]

CA=[x1+x2ax1x3+x4ax3].

于是:

ACCA=[ax3x2x2+ax4ax1x1x3x4x2ax3].

又由 ACCA=B, 得:

[ax3x2x2+ax4ax1x1x3x4x2ax3]=[011b]

{x2+ax3=0ax1+x2+ax4=1x1x3x4=1x2ax3=b.

注:

[1]. 在上面的方程组中,所有式子中的 x1, x2, x3, x4 都要严格按照相同的顺序依次排列(例如上面从左到右的顺序)。

通过上面的方程组,我们可以得到其增广矩阵 D 为:

D=[01a00a10a11011101a0b].

对矩阵 D 做初等行变换进行化简后,可得:

D=[1011101a000000a+10000b].

由题可知,矩阵 C 是存在的,即矩阵 D 对应的方程组是有解的,因此,系数矩阵与增广矩阵的秩要相等,于是:

a+1=0,b=0

a=1,b=0.

即:

D=[10111011000000000000].

进一步对增广矩阵 D 使用初等行变换化简可得:

D=[x1x2x3x410111011000000000000].

于是可知,x3x4 为自由未知数。

x3=0, x4=0 可得矩阵 D 对应的非齐次线性方程组的一个特解为:

(1,0,0,0).

x3=1, x4=0 可得与矩阵 D 相关的齐次线性方程组的一个解向量为:

(1,1,1,0).

x3=0, x4=1 可得与矩阵 D 相关的齐次线性方程组的另一个解向量为:

(1,0,0,1).

于是,与矩阵 D 相关的齐次线性方程组的通解为:

k1(1,1,1,0)+k2(1,0,0,1).

进而,可得,矩阵 D 对应的非齐次线性方程组的通解为:

x=k1[1110]+k2[1001]+[1000].

其中,k1, k2 为任意常数。

于是,有:

C=[k1+k2+1k1k1k2].

其中,k1, k2 为任意常数。


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