题目
设 $A=\begin{bmatrix}
1 & a\\
1 & 0
\end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
1 & b
\end{bmatrix}$,
当 $a$, $b$ 为何值时，存在矩阵 $C$ 使得 $AC-CA=B$, 并求所有矩阵 $C$.
解析
设矩阵 $C=\begin{bmatrix}
x_{1} & x_{2}\\
x_{3} & x_{4}
\end{bmatrix}$, 则有：
$$
AC = \begin{bmatrix}
1 & a\\
1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{1} & x_{2}\\
x_{3} & x_{4}
\end{bmatrix}
\Rightarrow
$$
$$
AC=\begin{bmatrix}
x_{1}+a x_{3} & x_{2} + a x_{4}\\
x_{1} & x_{2}
\end{bmatrix}.
$$
$$
CA=\begin{bmatrix}
x_{1} & x_{2}\\
x_{3} & x_{4}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & a\\
1 & 0
\end{bmatrix}
\Rightarrow
$$
$$
CA=\begin{bmatrix}
x_{1}+x_{2} & a x_{1}\\
x_{3}+x_{4} & a x_{3}
\end{bmatrix}.
$$
于是：
$$
AC-CA=
\begin{bmatrix}
a x_{3} – x_{2} & x_{2} + a x_{4}-a x_{1}\\
x_{1}-x_{3}-x_{4} & x_{2}-a x_{3}
\end{bmatrix}.
$$
又由 $AC-CA=B$, 得：
$$
\begin{bmatrix}
a x_{3} – x_{2} & x_{2} + a x_{4}-a x_{1}\\
x_{1}-x_{3}-x_{4} & x_{2}-a x_{3}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
1 & b
\end{bmatrix}
\Rightarrow
$$
$$
\left\{\begin{matrix}
-x_{2} + ax_{3} =0\\
-ax_{1} + x_{2} + ax_{4}=1\\
x_{1} – x_{3} – x_{4} = 1\\
x_{2} – a x_{3} = b.
\end{matrix}\right.
$$
注：
[1]. 在上面的方程组中，所有式子中的 $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$ 都要严格按照相同的顺序依次排列（例如上面从左到右的顺序）。
通过上面的方程组，我们可以得到其增广矩阵 $D$ 为：
$$
D=\begin{bmatrix}
0 & -1 & a & 0 & \vdots & 0\\
-a & 1 & 0 & a & \vdots & 1\\
1 & 0 & -1 & -1 & \vdots & 1\\
0 & 1 & -a & 0 & \vdots & b
\end{bmatrix}.
$$
对矩阵 $D$ 做初等行变换进行化简后，可得：
$$
D=\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & -1 & \vdots & 1\\
0 & -1 & a & 0 & \vdots & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & \vdots & a+1\\
0 & 0 & 0 & 0 & \vdots & b
\end{bmatrix}.
$$
由题可知，矩阵 $C$ 是存在的，即矩阵 $D$ 对应的方程组是有解的，因此，系数矩阵与增广矩阵的秩要相等，于是：
$$
a+1=0,b=0 \Rightarrow
$$
$$
a=-1,b=0.
$$
即：
$$
D=\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & -1 & \vdots & 1\\
0 & -1 & -1 & 0 & \vdots & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & \vdots & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & \vdots & 0
\end{bmatrix}.
$$
进一步对增广矩阵 $D$ 使用初等行变换化简可得：
$$
D=\begin{bmatrix}
x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} & \vdots & \\
1 & 0 & -1 & -1 & \vdots & 1\\
0 & 1 & 1 & 0 & \vdots & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & \vdots & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & \vdots & 0
\end{bmatrix}.
$$
于是可知，$x_{3}$ 和 $x_{4}$ 为自由未知数。
令 $x_{3}=0$, $x_{4}=0$ 可得矩阵 $D$ 对应的非齐次线性方程组的一个特解为：
$$
(1,0,0,0)^{\top}.
$$
令 $x_{3}=1$, $x_{4}=0$ 可得与矩阵 $D$ 相关的齐次线性方程组的一个解向量为：
$$
(1,-1,1,0)^{\top}.
$$
令 $x_{3}=0$, $x_{4}=1$ 可得与矩阵 $D$ 相关的齐次线性方程组的另一个解向量为：
$$
(1,0,0,1)^{\top}.
$$
于是，与矩阵 $D$ 相关的齐次线性方程组的通解为：
$$
k_{1}(1,-1,1,0)^{\top} + k_{2}(1,0,0,1)^{\top}.
$$
进而，可得，矩阵 $D$ 对应的非齐次线性方程组的通解为：
$$
x =k_{1}\begin{bmatrix}
1\\
-1\\
1\\
0
\end{bmatrix}+
k_{2}\begin{bmatrix}
1\\
0\\
0\\
1
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
1\\
0\\
0\\
0
\end{bmatrix}.
$$
其中，$k_{1}$, $k_{2}$ 为任意常数。
于是，有：
$$
C =\begin{bmatrix}
k_{1} + k_{2} + 1 & – k_{1}\\
k_{1} & k_{2}
\end{bmatrix}.
$$
其中，$k_{1}$, $k_{2}$ 为任意常数。