2012年考研数二第22题解析:行列式的按行(列)展开定理、非齐次线性方程组求解

题目

设:

A=[1a0001a0001aa001],

β=[1100].

() 计算行列式 |A|.

() 当实数 a 为何值时,方程组 AX=β 有无穷多解,并求其通解。

解析

()

由题知,行列式 |A| 是一个 4 阶行列式,大于了 3 阶,因此,我们不能使用行列式的对角线法则直接计算,也找不到其他可以降阶的方法。于是,我们只能使用行列式的按行(列)展开定理计算 |A| 的值。

根据行列式的展开定理,按行列式 |A| 的第一行展开,得:

A=[1a0001a0001aa001]=

1(1)(1+1)[1a001a001]+a(1)(1+2)[0a001aa01]=

[1a001a001]a[0a001aa01]=

1a(a3)=1a4.

()

如果方程组 AX=β 有无穷多解,则必有:

|A|=0.

再结合第 () 问,可知:

1a4=0

a=1a=1.

但是,上面的结论只是说,由“方程组 AX=β 有无穷多解”能够推出 “a=±1”.

并未说明,由 “a=±1” 可以推出“方程组 AX=β 有无穷多解”。

因此,只有上面的计算推理步骤,还不能满足充分必要条件,我们还需要对 a=1a=1 进行逐一验证。

a=1 时,有:

A=[1100011000111001].

(Aβ)=[11001011010011010010]

[10012011010011000002].

于是,可知,r(A)=3, 而增广矩阵的秩 r(Aβ)=4, 即 r(A)r(Aβ), 于是,当 a=1 时,方程组 AX=β 无解,不符合题目要求,须舍去。

a=1 时,有:

A=[1100011000111001].

(Aβ)=[11001011010011010010]

[11001011010011000000].

于是,可知,r(A)=3, 且增广矩阵的秩 r(Aβ)=3, 即 r(A)=r(Aβ), 于是,当 a=1 时,方程组 AX=β 有无穷多解,符合题目要求。

综上可知,若要使方程组 AX=β 有无穷多解,则须有 a=1.

接着,对 式继续进行化简,得:

(Aβ)=[10010010110011000000].

于是可知,方程 AX=0 的基础解系为:

(1,1,1,1).

方程 AX=β 的一个特解为:

(0,1,0,0)

于是,方程 AX=β 的通解为:

X=k(1,1,1,1)+(0,1,0,0).

其中,k 为任意常数。


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