2011年考研数二第12题解析

题目

设函数

f(x)={λeλx,x>0,0,x0.(λ>0)

+xf(x)dx=?

解析

对于积分上下限均为无穷的反常积分,可以优先考虑是否可以用分部积分解决。经验证知,本题可用分部积分来解。

注:分布积分公式的简写形式为:udv=uvvdu.

+xf(x)dx=

0+xλeλxdx=

0+x(eλx)dx=

0+xd(eλx)=

(xeλx|0+0+eλxdx)=

0+eλxdxxeλx|0+=

1λeλx|0+xeλx|0+=

(1λ)0=1λ.


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