题目
设函数
$$
f(x) = \left\{\begin{matrix}
\lambda e^{-\lambda x}, x > 0,\\0, x \leqslant 0.
\end{matrix}\right. (\lambda > 0)
$$
则 $\int_{- \infty}^{+\infty} xf(x) dx = ?$
解析
对于积分上下限均为无穷的反常积分，可以优先考虑是否可以用分部积分解决。经验证知，本题可用分部积分来解。
注：分布积分公式的简写形式为：$\int udv = uv – \int vdu$.
$$
\int_{- \infty}^{+ \infty} x f(x) dx =
$$
$$
\int_{0}^{+ \infty} x \cdot \lambda e^{-\lambda x} dx =
$$
$$
\int_{0}^{+ \infty} – x \cdot (e^{-\lambda x})^{‘} dx=
$$
$$
-\int_{0}^{+ \infty} x \cdot d(e^{- \lambda x}) =
$$
$$
-(x \cdot e^{- \lambda x} |_{0}^{+ \infty} -\int_{0}^{+ \infty} e^{-\lambda x} dx) =
$$
$$
\int_{0}^{+ \infty} e^{-\lambda x} dx – xe^{-\lambda x}|_{0}^{+ \infty} =
$$
$$
-\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} |_{0}^{+ \infty} – xe^{-\lambda x}|_{0}^{+ \infty} =
$$
$$
-(-\frac{1}{\lambda}) – 0 = \frac{1}{\lambda}.
$$