题目
曲线 $y = \int_{0}^{x}\tan t d t(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{4})$ 的弧长 $s = ?$
解析
观察题目可知，曲线 $y = \int_{0}^{x}\tan t d t$ 是以变上限积分的形式表示的一个位于直角坐标系下的普通二维曲线，自变量 $x$ 的取值范围是 $(0, \frac{\pi}{4})$.
又知，对于曲线 $y=f(x)(a \leqslant x \leqslant b)$, 其弧长 $s$ 的计算公式为：
$$
s = \int_{a}^{b} \sqrt{1+f^{‘2}(x)} dx.
$$
又：
$$
y^{‘} = \tan x.
$$
于是：
$$
s = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{1+\tan^{2} x} dx \Rightarrow
$$
$$
s = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{\sec ^{2} x} dx
\Rightarrow$$
$$
s = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec x dx. ①
$$
注：在 $(0, \frac{\pi}{4})$ 上，$\sec x$ 总是大于零的，因此，$①$ 式不用写成 $s = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} |\sec x| dx$ 的形式。
又知：
$$
\int sec x dx= \ln |\tan x + \sec x| + C
$$
于是：
$$
s = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec x dx \Rightarrow
$$
$$
s = \ln |\tan x + \sec x| |_{0}^{\frac{\pi}{4}} \Rightarrow
$$
$$
s = \ln|1+\sqrt{2}| – \ln |0+1| \Rightarrow
$$
$$
s = \ln(1+\sqrt{2}) – \ln (1) \Rightarrow
$$
$$
s = \ln (1+\sqrt{2}).
$$
注：$\ln(1)$ $\Rightarrow$ $\log_{e}^{1}$ $\Rightarrow$ $令 \log_{e}^{1} = \square$ $\Rightarrow$ $e^{\square} = 1$ $\Rightarrow$ $\square = 0$, 即：$\ln (1) = 0$.