2011年考研数二第11题解析

题目

曲线 y=0xtantdt(0xπ4) 的弧长 s=?

解析

观察题目可知,曲线 y=0xtantdt 是以变上限积分的形式表示的一个位于直角坐标系下的普通二维曲线,自变量 x 的取值范围是 (0,π4).

又知,对于曲线 y=f(x)(axb), 其弧长 s 的计算公式为:

s=ab1+f2(x)dx.

又:

y=tanx.

于是:

s=0π41+tan2xdx

s=0π4sec2xdx

s=0π4secxdx.

注:在 (0,π4) 上,secx 总是大于零的,因此, 式不用写成 s=0π4|secx|dx 的形式。

又知:

secxdx=ln|tanx+secx|+C

于是:

s=0π4secxdx

s=ln|tanx+secx||0π4

s=ln|1+2|ln|0+1|

s=ln(1+2)ln(1)

s=ln(1+2).

注:ln(1) loge1 loge1= e=1 =0, 即:ln(1)=0.


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