2011年考研数二第10题解析

题目

微分方程 $y^{‘}+y=e^{-x}\cos x$ 满足条件 $y(0)=0$ 的解为 $y=?$

解析

本题涉及一阶线性微分方程，肯定要使用一阶线性微分方程的求解公式。根据对该公式运用方式的不同，本题至少有两种解法，下面分别介绍。

补充：
对于一阶线性方程 $y^{‘}+p(x)y=q(x)$, 其求解公式为：
$$y=[\int q(x)\cdot e^{\int p(x)dx}dx+C]\cdot e^{-\int p(x)dx}$$

方法一

由 $y^{‘}+y=e^{-x}\cos x$ 和一阶线性微分方程的求解公式，我们可以直接求解如下：

$$y=[\int e^{-x}\cos x\cdot e^{\int 1\cdot dx}dx+C]\cdot e^{-\int 1\cdot dx}=$$

$$y=[\int e^{-x}\cos x\cdot e^{x}dx+C]\cdot e^{-x}$$

$$y=[\int \cos xdx+C]\cdot e^{-x}=$$

$$y=[\sin x+C]\cdot e^{-x}=$$

$$y=e^{-x}\sin x+C{e}^{-x}.\mathrm{①}$$

又需要满足 $x=0$ 的时候，$y=0$, 于是由 $\mathrm{①}$ 式得：

$$0=1\cdot 0+C\cdot 1\Rightarrow$$

$$C=0.$$

于是，可得：

$$y=e^{-x}\sin x.$$

方法二

由于在本文开头提到的一阶线性微分方程的求解公式中，$q(x)$ 是可以等于 $0$ 的。则，在 $q(x)=0$ 的情况下，也就是对 $y^{‘}+p(x)y=0$ 而言，其求解公式为：

$$y=C\cdot e^{-\int p(x)dx}.$$

同时，如果我们令 $D(x)=\int q(x)\cdot e^{\int p(x)dx}dx+C$, 则对于 $y^{‘}+p(x)y=q(x)$, 有：

$$y=D(x)\cdot e^{-\int p(x)dx}.$$

接下来开始我们的正式求解过程。

首先求出 $y^{‘}+y=0$ 的解：

$$y=C{e}^{-\int 1\cdot dx}=$$

$$y=C\cdot e^{-x}\mathrm{②}.$$

根据前面的分析，我们只需要将 $\mathrm{②}$ 式中的 $C$ 换成一个包含变量 $x$ 的式子 $D(x)$ 就可以得到函数 $y^{‘}+y=e^{-x}\cos x$ 的解的大致形态：

$$y=D(x)e^{-x}.$$

那么，接下来，我们只需要求出 $D(x)$ 就可以了。

将 $y=D(x)e^{-x}$ 带入方程 $y^{‘}+y=e^{-x}\cos x$, 可得：

$$D^{‘}(x)e^{-x}–D(x)e^{-x}+D(x)e^{-x}=e^{-x}\cos x\Rightarrow$$

$$D^{‘}(x)e^{-x}=e^{-x}\cos x\Rightarrow$$

$$D^{‘}(x)=\cos x\Rightarrow$$

$$D(x)=\sin x+C,\mathrm{其}\mathrm{中}C\mathrm{为}\mathrm{常}\mathrm{数}$$

于是，有：

$$y=(\sin x+C)e^{-x}\Rightarrow$$

又有：

$$x=0\mathrm{时}，y=0.$$

因此：

$$0=C.$$

即：

$$y=e^{-x}\sin x.$$

注意：不要写成 $y=\sin x{e}^{-x}$, 以免被误认为是 $y=\sin (x{e}^{-x})$.