[高数]关于三角函数和反三角函数的互相转化

前言

三角函数和反三角函数之间有时需要相互转化，本文将给出一个我对这个转化过程的理解，以作参考。

要明白三角函数和反三角函数之间如何相互转化，我们首先要清楚三角函数和反三角函数之间的关系。简单地说，三角函数和反三角函数之间的关系就是函数和反函数之间的关系，只不过，由于三角函数在其定义域内不是单调的，而只有单调函数才有反函数，因此，关于三角函数和反三角函数比较严谨的表述是：

在单调区间内，三角函数的反函数为反三角函数，例如：

$y = \arcsin x \Leftrightarrow x = \sin y .$

$y = \arccos x \Leftrightarrow x = \cos y .$

$y = \arctan x \Leftrightarrow x = \tan y .$

也就是：

$y = \arcsin x \Leftrightarrow \sin y = \sin [\arcsin x] \Leftrightarrow \sin y = x .$

$y = \arccos x \Leftrightarrow \cos y = \cos [\arccos x] \Leftrightarrow \cos y = x .$

$y = \arctan x \Leftrightarrow \tan y = \tan [\arctan x] \Leftrightarrow \tan y = x .$

由上可以发现，只要我们在计算的过程中【认为】：

$(\sin) \times (\arcsin) = 1, (\arcsin) \times (\sin) = 1;$

$(\cos) \times (\arccos) = 1, (\arccos) \times (\cos) = 1;$

$(\tan) \times (\arctan) = 1, (\arctan) \times (\tan) = 1;$

$\dots \dots$

就可以很方便地消去反三角函数的符号或者三角函数的符号。例如：

$\arctan (\frac{y}{x}) = \ln x \Rightarrow$

$\tan [\arctan (\frac{y}{x})] = \tan [\ln x] \Rightarrow$

$\frac{y}{x} = \tan (\ln x) \Rightarrow$

$y = x \tan (\ln x) .$

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