[高数]扩展后的三角函数代换公式

前言

在计算积分的时候，有时会需要使用三角函数代换（三角代换）的方式去掉二次根号。本文将给出一种扩展之后的三角函数代换公式，能够适用于更多的需要使用三角函数代换的计算场景，以作参考。

正文

三角函数代换的原理（目的）就是利用如下两个公式在二次根号内部形成一个单独的平方项：

$$1–{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x;$$

$$1+{\tan }^{2}x={\sec }^{2}x.$$

于是，简略版的三角函数代换公式是这样的：

$$\sqrt{a^2–x^2}\Rightarrow x=a\sin t;$$

$$\sqrt{a^2+x^2}\Rightarrow x=a\tan t;$$

$$\sqrt{x^2–a^2}\Rightarrow x=a\sec t.$$

但是，上面的公式没有考虑原式中 $x^2$ 项的前面如果存在系数时该怎么办。于是，我推导出了如下扩展后的三角函数代换公式：

$$\sqrt{a^2–b^2{x}^2}\Rightarrow x=\frac{a}{b}\sin t;$$

$$\sqrt{a^2+b^2{x}^2}\Rightarrow x=\frac{a}{b}\tan t;$$

$$\sqrt{x^2–b^2{a}^2}\Rightarrow x=\frac{a}{b}\sec t.$$

总的来说，只要记住本文开头提到的使用三角函数代换的目的，就可以很自然地想到上述扩展后的三角函数代换公式。

补充

虽然，能够使用三角函数代换的题目往往会有“二次根号”和“二次方”等特征的出现，但是，在某些没有“二次方”的题目中我们也可以使用三角函数代换，因为，正如前面所说的，三角函数代换的目的或者说“精髓”就是凑出来本文开头提到的那两个公式。

在没有“二次方”的题目中，我们可以创造出“二次方”，例如，若题目中有 $\sqrt{1–x}$, 则我们可以令 $x={\sin }^{2}t$, 从而去掉原式中的根号。需要特别注意的是，在定积分中，无论使用了什么样的代换方式，都要在代换发生后及时根据代换的形式修正积分上下限，使之和原式保持等量关系。

例题：

$${\int }_0^1\frac{x^4}{\sqrt{1-x}}=?$$

解答：

令 $x={\sin }^{2}t$, 则：

$${\int }_0^1\frac{x^4}{\sqrt{1-x}}=$$

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\sin }^{8}t}{\cos t}2\sin t\cos tdt=$$

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}2{\sin }^{9}tdt=$$

$$2\times \frac{8}{9}\times \frac{6}{7}\times \frac{4}{5}\times \frac{2}{3}\times 1=$$

$$\frac{256}{315}.$$

EOF