2012年考研数二第09题解析

题目

设 $y=y(x)$ 是由方程 $x^2-y+1=e^y$ 所确定的隐函数，则 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}{|}_{x=0}=?$

解析

把 $x=0$ 代入 $x^2-y+1=e^y$ 得：

$$y=0.$$

在 $x^2-y+1=e^y$ 两端求一阶导，得：

$$2x–\frac{dy}{dx}=e^y\frac{dy}{dx}\mathrm{①}$$

在 $\mathrm{①}$ 式两端继续对 $x$ 求导，得：

$$2–\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=e^y(\frac{dy}{dx}{)}^2+\frac{d^{2}y}{d{x}^2}\mathrm{②}$$

将 $x=0,y=0$ 代入 $\mathrm{①}$ 式，得：

$$\frac{dy}{dx}=0.$$

将 $x=0,y=0$ 和 $\frac{dy}{dx}=0$ 代入 $\mathrm{②}$ 式，得：

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=1.$$

综上可知，正确答案为 $1$.

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