题目
设 $y=y(x)$ 是由方程 $x^{2}-y+1=e^{y}$ 所确定的隐函数，则 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}|_{x=0} = ?$
解析
把 $x=0$ 代入 $x^{2}-y+1=e^{y}$ 得：
$$
y=0.
$$
在 $x^{2}-y+1=e^{y}$ 两端求一阶导，得：
$$
2x – \frac{dy}{dx} = e^{y} \frac{dy}{dx} ①
$$
在 $①$ 式两端继续对 $x$ 求导，得：
$$
2 – \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = e^{y} (\frac{dy}{dx})^{2} + \frac{d^{2}y}{dx^{2}} ②
$$
将 $x=0, y=0$ 代入 $①$ 式，得：
$$
\frac{dy}{dx} = 0.
$$
将 $x=0, y=0$ 和 $\frac{dy}{dx} = 0$ 代入 $②$ 式，得：
$$
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 1.
$$
综上可知，正确答案为 $1$.
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