2012年考研数二第04题解析

题目

设 $I_k={\int }_0^{k\pi }{e}^{x^2}\sin xdx$ $(k=1,2,3)$, 则有 $?$

$$A.I_1<I_2<I_3$$

$$B.I_3<I_2<I_1$$

$$C.I_2<I_3<I_1$$

$$D.I_2<I_1<I_3$$

解析

根据已知条件，我们可以画出函数 $y=e^{x^2}$ 的大致图像，如图 1 所示：

将 $y=e^{x^2}$ 和 $y=\sin x$ 画在一个坐标系内得到的大致图像如图 2 所示：

由图像可知，在 $[0,\pi ]$ 区间内对 $y=e^{x^2}\sin x$ 进行积分时，由于 $y=e^{x^2}$ 和 $y=\sin x$ 的图像都是位于 $x$ 轴上方的，因此，$y=e^{x^2}\sin x$ 的积分值大于零，即 $I_1>0$.

在 $[\pi ,2\pi ]$ 区间内对 $y=e^{x^2}\sin x$ 进行积分时，由于 $y=e^{x^2}$ 的图像位于 $x$ 轴上方，$y=\sin x$ 的图像位于 $x$ 轴下方，且由于 $y=e^{x^2}$ 增长较快，因此 $y=e^{x^2}\sin x$ 在 $[\pi ,2\pi ]$ 区间内的积分值是一个较大的负数，因此，$y=e^{x^2}\sin x$ 在 $[0,2\pi ]$ 上的积分值小于零，即 $I_2<0$.

同理可推测，由于 $y=e^{x^2}$ 增长较快，$y=e^{x^2}\sin x$ 在 $[2\pi ,3\pi ]$ 上的积分值是一个较大的数，再加上 $y=e^{x^2}\sin x$ 在 $[0,\pi ]$ 区间内的正数积分值能够抵消一部分 $y=e^{x^2}\sin x$ 在 $[\pi ,2\pi ]$ 区间内的负数积分值，因此 $I_3>0$ 且 $I_3$ 【很可能】比 $I_2$ 大。

于是有：

$$I_2<I_1<I_3.$$

综上可知，正确选项为 $D$.

EOF