2014年考研数二第08题解析

题目

设 ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$, ${\alpha }_3$ 是三维向量，则对任意常数 $k$, $l$, 向量 ${\alpha }_1+k{\alpha }_3$, ${\alpha }_2+l{\alpha }_3$ 线性无关是向量 ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$, ${\alpha }_3$ 线性无关的 $?$

$$A.\mathrm{必}\mathrm{要}\mathrm{非}\mathrm{充}\mathrm{分}\mathrm{条}\mathrm{件}$$

$$B.\mathrm{充}\mathrm{分}\mathrm{非}\mathrm{必}\mathrm{要}\mathrm{条}\mathrm{件}$$

$$C.\mathrm{充}\mathrm{分}\mathrm{必}\mathrm{要}\mathrm{条}\mathrm{件}$$

$$D.\mathrm{既}\mathrm{非}\mathrm{充}\mathrm{分}\mathrm{又}\mathrm{非}\mathrm{必}\mathrm{要}\mathrm{条}\mathrm{件}$$

解析

口诀：

前充分后必要，小充分大必要。

充分条件和必要条件的辅助记忆图形如图 1 所示：

充分性：

如果我们不是通过计算或者逻辑推理证明一个结论，而是通过举例证明一个结论，那么我们要做的就是举【反例】，也就是努力找使该结论不成立的特例，而不是找能使该问题成立的结论。因为有限个正面的例子成立并不能证明结论成立，但只要有一个反例证明该结论不成立，那么，这个结论就是不成立的。

总之——

举例就要举反例！！！

由于题目中说了 $k$, $l$ 可以任意取，也就是说，只找到有限组的 $k$, $l$ 证明一个结论成立或者不成立都是没有用的，因为这特定的 $k$, $l$ 都不是【任意】的 $k$ 和 $l$. 也就是说，只要一个值是可以【任意】取的，那么它就是【自由】的，在举例时，【自由】的值是不可以被特例化的。

若 ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$ 线性无关，${\alpha }_3=0$, 此时，${\alpha }_1+k{\alpha }_3$ 和 ${\alpha }_1+l{\alpha }_3$ 也是线性无关的。但是，由于 $0$ 向量和任何同类型的向量（行向量或列向量）都是线性相关的，因此，${\alpha }_3$ 与 ${\alpha }_2$ 和 ${\alpha }_1$ 都是线性相关的，进而，${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$, ${\alpha }_3$ 线性相关。

无论 $k$, $l$ 取何值，上述特例都成立，因此，题目中问的充分性不成立。

必要性：

要检查必要性，也就是我们认为 ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$, ${\alpha }_3$ 线性无关是成立的，又：

$$({\alpha }_1+k{\alpha }_3,{\alpha }_2+l{\alpha }_3)=$$

$$({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ k& l\end{array}\right|$$

由于 $({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$ 是一个可逆矩阵，因此，$({\alpha }_1+k{\alpha }_3,{\alpha }_2+l{\alpha }_3)$ 的秩就取决于 $\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ k& l\end{array}\right|$ 的秩。

由于 $\left|\begin{array}{c}1\\ 0\\ k\end{array}\right|$ 和 $\left|\begin{array}{c}0\\ 1\\ l\end{array}\right|$ 线性无关，因此：

$$r\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ k& l\end{array}\right|=2.$$

于是：

$$r({\alpha }_1+k{\alpha }_3,{\alpha }_2+l{\alpha }_3)=2.$$

于是可知，${\alpha }_1+k{\alpha }_3$ 与 ${\alpha }_2+l{\alpha }_3$ 线性无关，即，必要性成立。

综上可知，对任意常数 $k$, $l$, 向量 ${\alpha }_1+k{\alpha }_3$, ${\alpha }_2+l{\alpha }_3$ 线性无关是向量 ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$, ${\alpha }_3$ 线性无关的必要非充分条件，正确选项为 $A$.

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