题目
设 $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$, $\alpha_{3}$ 是三维向量，则对任意常数 $k$, $l$, 向量 $\alpha_{1} + k \alpha_{3}$, $\alpha_{2}+l\alpha_{3}$ 线性无关是向量 $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$, $\alpha_{3}$ 线性无关的 $?$
$$
A. 必要非充分条件
$$
$$
B. 充分非必要条件
$$
$$
C. 充分必要条件
$$
$$
D. 既非充分又非必要条件
$$
解析
口诀：
前充分后必要，小充分大必要。
充分条件和必要条件的辅助记忆图形如图 1 所示：
充分性：
如果我们不是通过计算或者逻辑推理证明一个结论，而是通过举例证明一个结论，那么我们要做的就是举【反例】，也就是努力找使该结论不成立的特例，而不是找能使该问题成立的结论。因为有限个正面的例子成立并不能证明结论成立，但只要有一个反例证明该结论不成立，那么，这个结论就是不成立的。
总之——
举例就要举反例！！！
由于题目中说了 $k$, $l$ 可以任意取，也就是说，只找到有限组的 $k$, $l$ 证明一个结论成立或者不成立都是没有用的，因为这特定的 $k$, $l$ 都不是【任意】的 $k$ 和 $l$. 也就是说，只要一个值是可以【任意】取的，那么它就是【自由】的，在举例时，【自由】的值是不可以被特例化的。
若 $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$ 线性无关，$\alpha_{3}=0$, 此时，$\alpha_{1} + k \alpha_{3}$ 和 $\alpha_{1} + l \alpha_{3}$ 也是线性无关的。但是，由于 $0$ 向量和任何同类型的向量（行向量或列向量）都是线性相关的，因此，$\alpha_{3}$ 与 $\alpha_{2}$ 和 $\alpha_{1}$ 都是线性相关的，进而，$\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$, $\alpha_{3}$ 线性相关。
无论 $k$, $l$ 取何值，上述特例都成立，因此，题目中问的充分性不成立。
必要性：
要检查必要性，也就是我们认为 $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$, $\alpha_{3}$ 线性无关是成立的，又：
$$
(\alpha_{1} + k \alpha_{3}, \alpha_{2} + l \alpha_{3}) =
$$
$$
(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})
\begin{vmatrix}
1 & 0\\
0 & 1\\
k & l
\end{vmatrix}
$$
由于 $(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})$ 是一个可逆矩阵，因此，$(\alpha_{1} + k \alpha_{3}, \alpha_{2} + l \alpha_{3})$ 的秩就取决于 $\begin{vmatrix}
1 & 0\\
0 & 1\\
k & l
\end{vmatrix}$ 的秩。
由于 $\begin{vmatrix}
1\\
0\\
k
\end{vmatrix}$ 和 $\begin{vmatrix}
0\\
1\\
l
\end{vmatrix}$ 线性无关，因此：
$$
r\begin{vmatrix}
1 & 0\\
0 & 1\\
k & l
\end{vmatrix} = 2.
$$
于是：
$$
r(\alpha_{1} + k \alpha_{3}, \alpha_{2} + l \alpha_{3})=2.
$$
于是可知，$\alpha_{1} + k \alpha_{3}$ 与 $\alpha_{2} + l \alpha_{3}$ 线性无关，即，必要性成立。
综上可知，对任意常数 $k$, $l$, 向量 $\alpha_{1} + k \alpha_{3}$, $\alpha_{2}+l\alpha_{3}$ 线性无关是向量 $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$, $\alpha_{3}$ 线性无关的必要非充分条件，正确选项为 $A$.
EOF