2015年考研数二第09题解析

题目

设 $\{\begin{array}{c}x=\arctan t,\\ y=3t+t^3,\end{array}$ 则 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}{|}_{t=1}=?$

解析

本题就是复合函数求导。

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}.$$

$$\frac{dy}{dt}=$$

$$3+3t^2.$$

$$\frac{dx}{dt}=$$

$$\frac{1}{1+t^2}.$$

$$y^{‘}=\frac{dy}{dx}=$$

$$(3+3t^2)(1+t^2)=$$

$$3+3t^2+3t^2+3t^4=$$

$$3+6t^2+3t^4.$$

$$\frac{d{y}^{‘}}{dx}=\frac{\frac{d{y}^{‘}}{dt}}{\frac{dx}{dt}}.$$

$$\frac{d{y}^{‘}}{dt}=$$

$$12t+12t^3.$$

$$\frac{d{y}^{‘}}{dx}=$$

$$(12t+12t^3)(1+t^2).$$

当 $t=1$ 时，有：

$$(12t+12t^3)(1+t^2)=$$

$$(12+12)(1+1)=$$

$$24\times 2=48.$$

综上可知，正确答案为 $48$.

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