2018年考研数二第12题解析

题目

$\{\begin{array}{c}x={\cos }^{3}t,\\ y={\sin }^{3}t\end{array}$ 在 $t=\frac{\pi }{4}$ 对应点处的曲率为 $?$

解析

曲率的计算公式：

$$K=\frac{|y^{”}|}{(1+y^{‘2}{)}^{\frac{3}{2}}}.$$

接下来就是参数方程求导的问题了。

$$y^{‘}=\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}.$$

又：

$$\frac{dy}{dt}=3{\sin }^{2}t\cdot \cos t;$$

$$\frac{dx}{dt}=3{\cos }^{2}t(-\sin t).$$

所以：

$$y^{‘}=\frac{\sin t}{-\cos t}=–\tan t.$$

又：

$$y^{”}=\frac{d}{dx}\frac{dy}{dx}=\frac{d{y}^{‘}}{dx}=\frac{\frac{d{y}^{‘}}{dt}}{\frac{dx}{dt}}.$$

又：

$$\frac{d{y}^{‘}}{dt}=–{\sec }^{2}t=–\frac{1}{{\cos }^{2}t}.$$

所以：

$$y^{”}=–\frac{1}{{\cos }^{2}t}\cdot \frac{1}{3{\cos }^{2}t(-\sin t)}\Rightarrow$$

$$y^{”}=\frac{1}{3{\cos }^{4}t\sin t}$$

当 $t=\frac{\pi }{4}$ 时：

$$y^{‘}=-1.$$

$$y^{”}=\frac{1}{3\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$$

于是，曲率 $K=$

$$\frac{|y^{”}|}{(1+y^{‘2}{)}^{\frac{3}{2}}}=$$

$$\frac{\frac{4\sqrt{2}}{3}}{(1+1{)}^{\frac{3}{2}}}=$$

$$\frac{\frac{4\sqrt{2}}{3}}{2\sqrt{2}}=$$

$$\frac{2}{3}.$$

综上可知，正确答案为 $\frac{2}{3}$.

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