题目
下列矩阵中，与矩阵 $\begin{bmatrix} 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$ 相似的为 $?$
$$A. \begin{bmatrix} 1& 1& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$$
$$B. \begin{bmatrix} 1& 0& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$$
$$C. \begin{bmatrix} 1& 1& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$$
$$D. \begin{bmatrix} 1& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$$
解析
考研大纲中目前并不要求判断两个一般的矩阵是否相似，只需要会判断一个矩阵是否和一个对角矩阵相似即可，本题考查的就是这种类型。
为了接下来的解题方便，我们首先声明如下。
令：
$$
M = \begin{bmatrix} 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix};
$$
$$
A = \begin{bmatrix} 1& 1& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix};
$$
$$
B = \begin{bmatrix} 1& 0& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix};
$$
$$
C = \begin{bmatrix} 1& 1& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix};
$$
$$
D = \begin{bmatrix} 1& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}.
$$
由于相似的矩阵必然拥有相同的特征值，因此，我们先看一看这五个矩阵的特征值是否相同。
由于对着五个矩阵做线性变换较简单，因此，以下式子直接写出结果，具体的变换过程就略去了。
$$
M = \begin{bmatrix} 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} \Rightarrow
$$
$M$ 的特征值为 $1,1,1$.
$$
A = \begin{bmatrix} 1& 1& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} \Rightarrow
$$
$A$ 的特征值为 $1,1,1$.
$$
B = \begin{bmatrix} 1& 0& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} \Rightarrow
$$
$B$ 的特征值为 $1,1,1$.
$$
C = \begin{bmatrix} 1& 1& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} \Rightarrow
$$
$C$ 的特征值为 $1,1,1$.
$$
D = \begin{bmatrix} 1& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} \Rightarrow
$$
$D$ 的特征值为 $1,1,1$.
如果两个矩阵的特征值不同，那么这两个矩阵一定不相似。
通过上面的计算可知，$M$的特征值 与 $A,B,C,D$ 的特征值都是相同的。因此，通过特征值这一项无法排除任何选项。这个时候，我们就需要使用其他性质做进一步的判断。
我们知道，两个矩阵相似能推出的另一个性质就是他们拥有相同的特征多项式，即：
$$
| A-\lambda _{1} E | = |B- \lambda _{1} E |.
$$
或者：
$$
|\lambda _{1} E – A| = |\lambda _{1} E – B|.
$$
推广知可得，相同的特征多项式对应的矩阵必然具体有相同的秩，于是，若 $A$ 与 $B$ 相似则必有：
$$
r(A-\lambda _{1} E) = r(B- \lambda _{1} E).
$$
或者：
$$
r(\lambda _{1} E – A) = r(\lambda _{1} E – B).
$$
又由题知：
$$
1 \cdot E-M=
$$
$$
\begin{pmatrix}
1& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 1
–
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1& 1& 0\\
0& 1& 1\\
0& 0& 1
\end{pmatrix}
$$
$$
\begin{pmatrix}
0& -1& 0\\
0& 0& -1\\
0& 0& 0
\end{pmatrix} \Rightarrow
$$
$$
r(1 \cdot E-M)=2.
$$
$$
1 \cdot E-A=
$$
$$
\begin{pmatrix}
1& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 1
\end{pmatrix}
–
\begin{pmatrix}
1& 1& -1\\
0& 1& 1\\
0& 0& 1
\end{pmatrix}
$$
$$=$$
$$
\begin{pmatrix}
0& -1& 1\\
0& 0& -1\\
0& 0& 0
\end{pmatrix} \Rightarrow
$$
$$
\begin{pmatrix}
0& -1& 0\\
0& 0& -1\\
0& 0& 0
\end{pmatrix} \Rightarrow
$$
$$
r(1 \cdot E-A)=2.
$$
注意：从这里也可以看出，$|1 \cdot E-M|=|1 \cdot E-A|.$
$$
1 \cdot E-B=
$$
$$
\begin{pmatrix}
1& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 1|
\end{pmatrix}-
\begin{pmatrix}
1& 0& -1\\
0& 1& 1\\
0& 0& 1
\end{pmatrix}=
$$
$$
\begin{pmatrix}
0& 0& 1\\
0& 0& -1\\
0& 0& 0
\end{pmatrix} \Rightarrow
$$
$$
r(1 \cdot E-B)=1.
$$
$$
1 \cdot E-C=
$$
$$
\begin{pmatrix}
1& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 1
\end{pmatrix}|
–
\begin{pmatrix}
1& 1& -1\\
0& 1& 0\\
0& 0& 1
\end{pmatrix}=
$$
$$
\begin{pmatrix}
0& -1& 1\\
0& 0& 0\\
0& 0& 0
\end{pmatrix} \Rightarrow
$$
$$
r(1 \cdot E-C)=1.
$$
$$
1 \cdot E-D=
$$
$$
\begin{pmatrix}
1& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 1
\end{pmatrix}
–
\begin{pmatrix}
1& 0& -1\\
0& 1& 0\\
0& 0& 1
\end{pmatrix}=
$$
$$
\begin{pmatrix}
0& 0& 1\\
0& 0& 0\\
0& 0& 0
\end{pmatrix} \Rightarrow
$$
$$
r(1 \cdot E-D)=1
$$
综上可知，正确选项为 $A$.
EOF