2018年考研数二第07题解析

题目

下列矩阵中，与矩阵 $\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ 相似的为 $?$

$$A.\left[\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

$$B.\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

$$C.\left[\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

$$D.\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

解析

考研大纲中目前并不要求判断两个一般的矩阵是否相似，只需要会判断一个矩阵是否和一个对角矩阵相似即可，本题考查的就是这种类型。

为了接下来的解题方便，我们首先声明如下。

令：

$$M=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right];$$

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right];$$

$$B=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right];$$

$$C=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right];$$

$$D=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right].$$

由于相似的矩阵必然拥有相同的特征值，因此，我们先看一看这五个矩阵的特征值是否相同。

由于对着五个矩阵做线性变换较简单，因此，以下式子直接写出结果，具体的变换过程就略去了。

$$M=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\Rightarrow$$

$M$ 的特征值为 $1,1,1$.

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\Rightarrow$$

$A$ 的特征值为 $1,1,1$.

$$B=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\Rightarrow$$

$B$ 的特征值为 $1,1,1$.

$$C=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\Rightarrow$$

$C$ 的特征值为 $1,1,1$.

$$D=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\Rightarrow$$

$D$ 的特征值为 $1,1,1$.

如果两个矩阵的特征值不同，那么这两个矩阵一定不相似。

通过上面的计算可知，$M$的特征值 与 $A,B,C,D$ 的特征值都是相同的。因此，通过特征值这一项无法排除任何选项。这个时候，我们就需要使用其他性质做进一步的判断。

我们知道，两个矩阵相似能推出的另一个性质就是他们拥有相同的特征多项式，即：

$$
| A-\lambda _{1} E | = |B- \lambda _{1} E |.
$$

或者：

$$
|\lambda _{1} E – A| = |\lambda _{1} E – B|.
$$

推广知可得，相同的特征多项式对应的矩阵必然具体有相同的秩，于是，若 $A$ 与 $B$ 相似则必有：

$$
r(A-\lambda _{1} E) = r(B- \lambda _{1} E).
$$

或者：

$$
r(\lambda _{1} E – A) = r(\lambda _{1} E – B).
$$

又由题知：

$$1\cdot E-M=$$

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1–\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\Rightarrow$$

$$r(1\cdot E-M)=2.$$

$$1\cdot E-A=$$

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)–\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

$$=$$

$$\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 1\\ 0& 0& -1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\Rightarrow$$

$$\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\Rightarrow$$

$$r(1\cdot E-A)=2.$$

注意：从这里也可以看出，$|1\cdot E-M|=|1\cdot E-A|.$

$$1\cdot E-B=$$

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1|\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=$$

$$\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& -1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\Rightarrow$$

$$r(1\cdot E-B)=1.$$

$$1\cdot E-C=$$

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)|–\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=$$

$$\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\Rightarrow$$

$$r(1\cdot E-C)=1.$$

$$1\cdot E-D=$$

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)–\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=$$

$$\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\Rightarrow$$

$$r(1\cdot E-D)=1$$

综上可知，正确选项为 $A$.

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