2018年考研数二第06题解析

题目

${\int }_{-1}^{0}dx{\int }_{-x}^{2-x^2}(1-xy)dy+{\int }_0^{1}dx{\int }_x^{2-x^2}(1-xy)dy=?$

$$A.\frac{5}{3}$$

$$B.\frac{5}{6}$$

$$C.\frac{7}{3}$$

$$D.\frac{7}{6}$$

解析

方法一

本方法就是直接算，先对 $y$ 求积分，再对 $x$ 求积分。

由于直接计算过程较繁琐，因此，计算过程中要格外仔细，最好每一步都回头检查一下。

由于：

$${\int }_{-x}^{2-x^2}(1-xy)dy=$$

$$y-\frac{1}{2}{y}^{2}x{|}_{-x}^{2-x^2}=$$

$$[2-x^2–\frac{1}{2}(2-x^2{)}^{2}x]-[-x-\frac{1}{2}(-x{)}^{2}x]=$$

$$[2-x^2–\frac{1}{2}x(4+x^4-4x^2)]-[-x-\frac{1}{2}{x}^3]=$$

$$2-x^2–2x–\frac{1}{2}{x}^5+2x^3+x+\frac{1}{2}{x}^3=$$

$$2-x^2-x+\frac{5}{2}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^5.$$

于是：

$${\int }_{-1}^{0}dx{\int }_{-x}^{2-x^2}(1-xy)dy=$$

$${\int }_{-1}^0(2-x^2-x+\frac{5}{2}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^5)dx=$$

$$2x–\frac{1}{3}{x}^3–\frac{1}{2}{x}^2+\frac{5}{2}\cdot \frac{1}{4}{x}^4–\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}{x}^6{|}_{-1}^0=$$

$$[0]-[-2+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{5}{8}–\frac{1}{12}]=$$

$$2–\frac{1}{3}+\frac{1}{2}–\frac{5}{8}+\frac{1}{12}=\frac{13}{8}.$$

又由于：

$${\int }_x^{2-x^2}(1-xy)dy=$$

$$y-\frac{1}{2}{y}^{2}x{|}_x^{2-x^2}=$$

$$[2-x^2–\frac{1}{2}x(2-x^2{)}^2]-[x–\frac{1}{2}{x}^3]=$$

$$[2-x^2-\frac{1}{2}x(4+x^4-4x^2)]–x+\frac{1}{2}{x}^3=$$

$$2–x^2–2x–\frac{1}{2}{x}^5+2x^3–x+\frac{1}{2}{x}^3=$$

$$2-x^2-3x+\frac{5}{2}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^5=$$

于是：

$${\int }_0^{1}dx{\int }_x^{2-x^2}(1-xy)dy=$$

$${\int }_0^{1}2-x^2-3x+\frac{5}{2}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^{5}dx=$$

$$2x–\frac{1}{3}{x}^3–3\cdot \frac{1}{2}{x}^2+\frac{5}{2}\cdot \frac{1}{4}{x}^4–\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}{x}^6{|}_0^1=$$

$$[2-\frac{1}{3}–\frac{3}{2}+\frac{5}{8}–\frac{1}{12}]–[0]=\frac{17}{24}$$

所以：

$$\mathrm{原}\mathrm{式}=\frac{13}{8}+\frac{17}{24}=\frac{7}{3}.$$

综上可知，正确选项为 $C$.

方法二

本题也可以通过一些化简之后再进行计算。

本题是计算二重积分，而且式子中 $”+”$ 号两侧的被积函数都是相同的，因此，可以尝试画出积分区域 $D$, 看是否可以化简。

由题可知，积分区域 $D=$:

$$\{(x,y)|-1⩽x⩽0,-x⩽y⩽2-x^2\}$$

$$\cup \{(x,y)|0⩽x⩽1,x⩽y⩽2-x^2\}$$

画出图形就是 (图 1)：

由图可知，积分区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称。又因为，在 $1-xy$ 中，$xy$ 关于 $x$ 为奇函数，$1$ 关于 $x$ 为偶函数，于是：

$${\int }_{-1}^{0}dx{\int }_{-x}^{2-x^2}(1-xy)dy+{\int }_0^{1}dx{\int }_x^{2-x^2}(1-xy)dy=$$

$${\iint }_D(1-xy)dxdy=$$

$${\iint }_{D}1dxdy–{\iint }_{D}xydxdy=$$

$${\iint }_{D}1dxdy–0=$$

$$2{\int }_0^{1}dx{\int }_x^{2-x^2}1dy=$$

$$2{\int }_0^1(2-x^2-x)dx=$$

$$2\cdot (2x–\frac{1}{3}{x}^3–\frac{1}{2}{x}^2){|}_0^1=$$

$$2\cdot (2–\frac{1}{3}–\frac{1}{2}–0)=$$

$$2\cdot \frac{7}{6}=\frac{7}{3}.$$

综上可知，正确选项为 $C$.

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