2018年考研数二第04题解析

题目

设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，且 ${\int }_0^{1}f(x)dx=0$, 则 $?$

$$A.\mathrm{当}{f}^{‘}(x)<0\mathrm{时}，f(\frac{1}{2})<0$$

$$B.\mathrm{当}{f}^{”}(x)<0\mathrm{时}，f(\frac{1}{2})<0$$

$$C.\mathrm{当}{f}^{‘}(x)>0\mathrm{时}，f(\frac{1}{2})<0$$

$$D.\mathrm{当}{f}^{”}(x)>0\mathrm{时}，f(\frac{1}{2})<0$$

解析

方法一

由题知，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上存在二阶导函数，而且 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的积分为 $0$, 也就是说，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 区间内的函数图像位于 $x$ 轴上半部分的面积刚好与位于 $x$ 轴下半部分的面积相等。

我们又知道，一阶导反映的是原函数的升降情况，二阶导反映的是原函数的凹凸情况。

对于 $A,C$ 两个选项，如果说有 $f^{‘}(x)<0$ 或者 $f^{‘}(x)>0$, 那么就代表 $f(x)$ 一定是一条直线，因为只有直线在求过一阶导之后就变成常数。而如果 $f(x)$ 是一条直线，那么为了使其在区间 $[0,1]$ 内积分为零，只能有 $[0,\frac{1}{2}]$ 和 $[\frac{1}{2},1]$ 这两个区间与 $f(x)$ 对应围成的面积相等，且一个围成的区域在 $x$ 轴上方，另一个围成的区域在 $x$ 轴下方这种情况，很显然，如果是这种情况的话，那么只能有：

$$f(\frac{1}{2})=0.$$

因此，$A,C$ 两个选项被排除。

通过上面的分析可知，$f(x)$ 一定不是一条直线，只能是一条曲线，而且这个曲线在 $[0,1]$ 区间内必须至少完成一次“转向”，因为只有这样才会在 $[0,1]$ 区间内使 $x$ 轴上下方围成的面积相等，从而使积分为零。

又由选项可知，$f(x)$ 的二阶导是一个正数或者负数，因此，$f(x)$ 的最高次方一定是 $2$, 因为只有二次方会在求二阶导之后变成常数。所以，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 区间内只做了一次“转向”。

如果二阶导函数 $f^{”}(x)>0$, 那么，$f(x)$ 就是一个凹函数，此时如果 $f(\frac{1}{2})>0$, 那么函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 内的函数图像就不会存在位于 $x$ 轴下方的部分，因此，只有是 $f(\frac{1}{2})<0$ 才可以。因此，$D$ 选项正确。同样的思路可以判断出 $B$ 选项错误。

综上可知，正确选项为 $D$.

方法二

由于本题涉及一阶导与二阶导，因此，可以考虑对 $f(x)$ 使用泰勒公式在 $x=\frac{1}{2}$ 处展开，这样就会在展开的式子中出现一阶导和二阶导，从而使条件与选项建立联系：

$${\int }_0^{1}f(x)=$$

$$f(\frac{1}{2})+f^{‘}(\frac{1}{2}){\int }_0^1(x-\frac{1}{2})dx+\frac{1}{2}{f}^{”}(\frac{1}{2}){\int }_0^1(x-\frac{1}{2}{)}^{2}dx=0.$$

又：

$${\int }_0^1(x-\frac{1}{2})dx=$$

$$(\frac{1}{2}{x}^2–\frac{1}{2}x){|}_0^1=$$

$$(\frac{1}{2}–\frac{1}{2})-(0–0)=0.$$

$${\int }_0^1(x-\frac{1}{2}{)}^{2}dx=$$

$${\int }_0^1(x^2+\frac{1}{4}–x)dx=$$

$$(\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{4}x–\frac{1}{2}{x}^2){|}_0^1=$$

$$(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}–\frac{1}{2})-(0+0–0)=\frac{1}{12}.$$

所以：

$${\int }_0^{1}f(x)=$$

$$f(\frac{1}{2})+\frac{1}{24}{f}^{”}(\frac{1}{2})=0\Rightarrow$$

$$f(\frac{1}{2})=-\frac{1}{24}{f}^{”}(\frac{1}{2}).$$

因此，只有当 $f^{”}(x)>0$, 即 $f^{”}(\frac{1}{2})>0$ 时，$f(\frac{1}{2})<0$.

综上可知，正确选项为 $D$.

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