2018年考研数二第04题解析

题目

设函数 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上二阶可导，且 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x = 0$, 则 $?$

⟨A⟩. 当 $f^{\prime}(x)$ $<$ $0$ 时，$f \left(\frac{1}{2} \right)$ $<$ $0$

⟨B⟩. 当 $f^{\prime \prime}(x)$ $<$ $0$ 时，$f \left(\frac{1}{2} \right)$ $<$ $0$

⟨C⟩. 当 $f^{\prime}(x)$ $>$ $0$ 时，$f \left(\frac{1}{2} \right)$ $<$ $0$

⟨D⟩. 当 $f^{\prime \prime}(x)$ $>$ $0$ 时，$f \left(\frac{1}{2} \right)$ $<$ $0$

解析

方法一

由题知，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上存在二阶导函数，而且 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上的积分为 $0$, 也就是说，$f(x)$ 在 $[0, 1]$ 区间内的函数图像位于 $x$ 轴上半部分的面积刚好与位于 $x$ 轴下半部分的面积相等。

我们又知道，一阶导反映的是原函数的升降情况，二阶导反映的是原函数的凹凸情况。

对于 $A, C$ 两个选项，如果说有 $f^{\prime}(x) < 0$ 或者 $f^{\prime}(x) > 0$, 那么就代表 $f(x)$ 一定是一条直线，因为只有直线在求过一阶导之后就变成常数。而如果 $f(x)$ 是一条直线，那么为了使其在区间 $[0, 1]$ 内积分为零，只能有 $[0, \frac{1}{2}]$ 和 $[\frac{1}{2}, 1]$ 这两个区间与 $f(x)$ 对应围成的面积相等，且一个围成的区域在 $x$ 轴上方，另一个围成的区域在 $x$ 轴下方这种情况，很显然，如果是这种情况的话，那么只能有：

$$
f \left(\frac{1}{2} \right) = 0.
$$

因此，$A ,C$ 两个选项被排除。

通过上面的分析可知，$f(x)$ 一定不是一条直线，只能是一条曲线，而且这个曲线在 $[0, 1]$ 区间内必须至少完成一次“转向”，因为只有这样才会在 $[0, 1]$ 区间内使 $x$ 轴上下方围成的面积相等，从而使积分为零。

又由选项可知，$f(x)$ 的二阶导是一个正数或者负数，因此，$f(x)$ 的最高次方一定是 $2$, 因为只有二次方会在求二阶导之后变成常数。所以，$f(x)$ 在 $[0, 1]$ 区间内只做了一次“转向”。

如果二阶导函数 $f^{\prime \prime}(x)$ $>$ $0$, 那么，$f(x)$ 就是一个凹函数，此时如果 $f \left(\frac{1}{2} \right)$ $>$ $0$, 那么函数 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 内的函数图像就不会存在位于 $x$ 轴下方的部分，因此，只有是 $f \left(\frac{1}{2} \right)$ $<$ $0$ 才可以。因此，$D$ 选项正确。同样的思路可以判断出 $B$ 选项错误。

综上可知，正确选项为 $D$.

方法二

由于本题涉及一阶导与二阶导，因此，可以考虑对 $f(x)$ 使用泰勒公式在 $x=\frac{1}{2}$ 处展开，这样就会在展开的式子中出现一阶导和二阶导，从而使条件与选项建立联系：

$$
\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x =
$$

$$
f \left(\frac{1}{2} \right) + f^{\prime} \left(\frac{1}{2} \right) \int_{0}^{1} \left(x-\frac{1}{2} \right) \mathrm{~d} x + \frac{1}{2} f^{\prime \prime} \left(\frac{1}{2} \right) \int_{0}^{1} \left(x-\frac{1}{2} \right)^{2} \mathrm{~d} x =0.
$$

又：

$$
\int_{0}^{1} \left(x-\frac{1}{2} \right) \mathrm{~d} x =
$$

$$
\left(\frac{1}{2}x^{2} – \frac{1}{2}x \right) \Big|_{0}^{1} =
$$

$$
\left(\frac{1}{2} – \frac{1}{2} \right) – (0 – 0) = 0.
$$

$$
\int_{0}^{1} \left(x-\frac{1}{2} \right)^{2} \mathrm{~d} x =
$$

$$
\int_{0}^{1} \left(x^{2} + \frac{1}{4} – x \right) \mathrm{~d} x=
$$

$$
\left(\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{4}x – \frac{1}{2}x^{2} \right) \Big|_{0}^{1} =
$$

$$
\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} – \frac{1}{2} \right) – (0 + 0 – 0) = \frac{1}{12}.
$$

所以：

$$
\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x =
$$

$$
f \left(\frac{1}{2} \right) + \frac{1}{24} f^{\prime \prime} \left(\frac{1}{2} \right)=0 \Rightarrow
$$

$$
f \left(\frac{1}{2} \right) = -\frac{1}{24}f^{\prime \prime} \left(\frac{1}{2} \right).
$$