2020 年研究生入学考试数学一第 5 题解析

题目

若矩阵 $A$ 经初等列变换化成 $B$, 则 ( )

A. 存在矩阵 $P$, 使得 $PA=B$

B. 存在矩阵 $P$, 使得 $BP=A$

C. 存在矩阵 $P$, 使得 $PB=A$

D. 方程组 $Ax=0$ 与 $Bx=0$ 同解

解析

由于 $A$ 是由初等列变换变成 $B$ 的，而若两个齐次线性方程组 $Ax=1$ 与 $Bx=0$ 同解，则要求的是它们的行向量组等价，即 $A$ 和 $B$ 可以经过若干行变换变成对方。因此，D 项错误。

根据矩阵变换中“左行右列”的原理，若矩阵 $A$ 可以经初等列变换化成 $B$, 则：

设存在可逆矩阵 $P_1$ 使得 $A{P}_1=B.$

令：

$P=P_1^{-1}.$

则：

$A=BP.$

即：

$BP=A.$

综上可知，正确答案是：B

EOF