一、题目
计算并判断下面的函数在点 $\left( 0, 0 \right)$ 处的二重极限和累次极限：
$$
f \left( x, y \right) = \sin \frac{1}{x y}
$$
二、解析
$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 函数 $f\left(x, y\right) = \sin \frac{1}{x y}$ 在 $\left(0, 0\right)$ 处的二重极限不存在
$\textcolor{orange}{\blacktriangleright}$ 验证方法 1：定义法
若极限存在，则应存在某个 $A \in \mathbb{R}$, 对于 $\forall \varepsilon > 0$, $\exists \delta > 0$, 使得当 $0 < \sqrt{x^{2} + y^{2}} < \delta$ 时，下式成立：
$$
\left| \sin \frac{1}{x y} – A \right| < \varepsilon
$$
接着，我们证明上面的假设对任何实数 $A$ 都不成立.
首先，任取 $\delta > 0$, 令 $x_{\delta} = \frac{\delta}{2}$.
然后，取足够大的正整数 $n$, 使得：
$$
\begin{aligned}
y_{1} & = \frac{1}{x_{\delta} \left(\frac{\pi}{2} + 2 \pi n\right)} < \frac{\delta}{2} \\ \\
y_{2} & = \frac{1}{x_{\delta} \left(\frac{3 \pi}{2} + 2 \pi n\right)}
\end{aligned}
$$
显然：
$$
0 < y_{2} < y_{1} < \frac{\delta}{2}
$$
于是 $\boldsymbol{P}_{\delta} = \left(x_{\delta}, y_{1}\right)$ 和 $\boldsymbol{Q}_{\delta} = \left(x_{\delta}, y_{2}\right)$ 这两个点都满足：
$$
\begin{aligned}
0 < \left\lVert \boldsymbol{P}_{\delta} \right\rVert = \sqrt{x_{\delta}^{2} + y^{2}_{1}} < \sqrt{\frac{\delta^{2}}{4} + \frac{\delta^{2}}{4}}
< \delta \\ \\
0 < \left\lVert \boldsymbol{Q}_{\delta}\right\rVert = \sqrt{x_{\delta}^{2} + y^{2}_{2}} < \sqrt{\frac{\delta^{2}}{4} + \frac{\delta^{2}}{4}}
< \delta
\end{aligned}
$$
但是：
$$
\begin{aligned}
f\left(\boldsymbol{P}_{\delta}\right) & = \sin \left(\frac{\pi}{2} + 2 \pi n\right) \\ \
& = \sin \frac{1}{\frac{\delta}{2} \cdot \frac{1}{\frac{\delta}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right)}} \\ \\
& = \sin \frac{\pi}{2} \\ \\
& = 1 \\ \\ \\
f\left(\boldsymbol{Q}_{\delta}\right) & = \sin \left(\frac{3 \pi}{2} + 2 \pi n\right) \\ \\
& = \sin \frac{1}{\frac{\delta}{2} \cdot \frac{1}{\frac{\delta}{2} \left( \frac{3 \pi}{2} + 2 \pi n \right)}} \\ \\
& = \sin \frac{3 \pi}{2} \\ \\
& = -1
\end{aligned}
$$
从上面的计算结果已经能够看出，由于当 $n \to \infty$ 的时候，$y_{1}$ 和 $y_{2}$ 无限接近，也就是说，在任意小的邻域内，函数值同时出现了 $1$ 和 $-1$, 所以函数值的振荡始终至少为 $2$, 不可能趋于某个固定数，故二重极限不存在.
接着，任取 $A \in \mathbb{R}$, 由前面的计算可得：
$$
\begin{aligned}
& \ \left|f\left(\boldsymbol{P}_{\delta}\right) – A\right| + \left|f\left(\boldsymbol{Q}_{\delta}\right) – A\right| \geqslant 2 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \left|1 – A\right| + \left|-1 – A\right| \geqslant 2
\end{aligned}
$$
又因为 $\left|1 – A\right| \geqslant 0$, $\left|-1 – A\right| \geqslant 0$, 所以，下面的两个式子至少有一个成立：
$$
\begin{aligned}
\left|1 – A\right| \geqslant 1 \\ \\
\left|-1 – A\right| \geqslant 1
\end{aligned}
$$
因此，对任意 $\delta > 0$, 总能在 $\delta$-邻域内找到一点 $\boldsymbol{R}_{\delta}$, 使得下式成立：
$$
\left|f\left(\boldsymbol{R}_{\delta}\right) – A\right| \geqslant 1
$$
因此，下面的二重极限不存在：
$$
\lim\limits_{\left(x, y\right) \to \left(0, 0\right)}
\sin \frac{1}{x y}
$$
$\textcolor{orange}{\blacktriangleright}$ 验证方法 2：特例法
考虑定义域内的路径：
$$
y = x, \qquad x \neq 0
$$
沿此路径有：
$$
f\left(x, x\right) = \sin \frac{1}{x^{2}}
$$
取两列趋于 $0$ 的数列：
$$
a_{n} = \frac{1}{\sqrt{\dfrac{\pi}{2} + 2 \pi n}},
\qquad
b_{n} = \frac{1}{\sqrt{\dfrac{3 \pi}{2} + 2 \pi n}},
\qquad
n \in \mathbb{N}
$$
显然，有：
$$
\lim\limits_{n \to \infty} a_{n} = 0,
\qquad
\lim\limits_{n \to \infty} b_{n} = 0
$$
于是，点列 $\left(a_{n}, a_{n}\right)$ 和 $\left(b_{n}, b_{n}\right)$ 都属于定义域 $D$, 并且满足：
$$
\lim\limits_{n \to \infty} \left(a_{n}, a_{n}\right)
= \left(0, 0\right),
\qquad
\lim\limits_{n \to \infty} \left(b_{n}, b_{n}\right)
= \left(0, 0\right)
$$
但是：
$$
f\left(a_{n}, a_{n}\right)
= \sin \frac{1}{a_{n}^{2}}
= \sin \left(\frac{\pi}{2} + 2 \pi n\right)
= 1
$$
而：
$$
f\left(b_{n}, b_{n}\right)
= \sin \frac{1}{b_{n}^{2}}
= \sin \left(\frac{3 \pi}{2} + 2 \pi n\right)
= -1
$$
因此：
$$
\lim\limits_{n \to \infty} f\left(a_{n}, a_{n}\right) = 1,
\qquad
\lim\limits_{n \to \infty} f\left(b_{n}, b_{n}\right) = -1
$$
同时，由二重极限的数列判别法，若下式的极限存在：
$$
\lim\limits_{\left(x, y\right) \to \left(0, 0\right)}
f\left(x, y\right)
$$
则沿定义域内任意趋于 $\left(0, 0\right)$ 的点列，函数值都必须趋于同一个极限.
然而，上述两列函数值分别趋于 $1$ 和 $-1$, 所得极限不同.因此，下面这个二重极限不存在：
$$
\lim\limits_{\left(x, y\right) \to \left(0, 0\right)}
\sin \frac{1}{x y}
$$
$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 函数 $f\left(x, y\right) = \sin \frac{1}{x y}$ 在 $\left(0, 0\right)$ 处的累次极限不存在
$\textcolor{orange}{\blacktriangleright}$ 先令 $x \to 0$, 再令 $y \to 0$
任取固定的 $y_{0} \neq 0$, 定义：
$$
u_{n}
= \frac{1}{y_{0} \left(\dfrac{\pi}{2} + 2 \pi n\right)},
\qquad
v_{n}
= \frac{1}{y_{0} \left(\dfrac{3 \pi}{2} + 2 \pi n\right)}
$$
则有：
$$
\lim\limits_{n \to \infty} u_{n} = 0,
\qquad
\lim\limits_{n \to \infty} v_{n} = 0
$$
同时：
$$
f\left(u_{n}, y_{0}\right)
= \sin \frac{1}{u_{n} y_{0}}
= \sin \left(\frac{\pi}{2} + 2 \pi n\right)
= 1
$$
以及：
$$
f\left(v_{n}, y_{0}\right)
= \sin \frac{1}{v_{n} y_{0}}
= \sin \left(\frac{3 \pi}{2} + 2 \pi n\right)
= -1
$$
因此，对于任意固定的 $y_{0} \neq 0$, 下面的极限都不存在：
$$
\lim\limits_{x \to 0} f\left(x, y_{0}\right)
$$
所以，下面的累次极限不存在：
$$
\lim\limits_{y \to 0}
\left(
\lim\limits_{x \to 0} f\left(x, y\right)
\right) \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \lim\limits_{y \to 0} \left( \lim\limits_{x \to 0} \sin \frac{1}{x y} \right)
$$
$\textcolor{orange}{\blacktriangleright}$ 先令 $y \to 0$, 再令 $x \to 0$
任取固定的 $x_{0} \neq 0$, 定义：
$$
p_{n}
= \frac{1}{x_{0} \left( \dfrac{\pi}{2} + 2 \pi n \right)}, \qquad q_{n} = \frac{1}{x_{0} \left(\dfrac{3 \pi}{2} + 2 \pi n\right)}
$$
则有：
$$
\lim\limits_{n \to \infty} p_{n} = 0, \qquad \lim\limits_{n \to \infty} q_{n} = 0
$$
并且：
$$
f\left(x_{0}, p_{n}\right) = \sin \frac{1}{x_{0} p_{n}} = \sin \left(\frac{\pi}{2} + 2 \pi n\right) = 1
$$
然而：
$$
f\left(x_{0}, q_{n}\right) = \sin \frac{1}{x_{0} q_{n}} = \sin \left(\frac{3 \pi}{2} + 2 \pi n\right) = -1
$$
因此，对于任意固定的 $x_{0} \neq 0$, 下面的极限都不存在：
$$
\lim\limits_{y \to 0} f\left(x_{0}, y\right)
$$
所以，下面的累次极限不存在：
$$
\lim\limits_{x \to 0} \left[ \lim\limits_{y \to 0} f\left(x, y\right) \right] \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \lim\limits_{x \to 0} \left[ \lim\limits_{y \to 0} \sin \frac{1}{x y} \right]
$$