范数及其几何意义

一、范数的定义

设 $V$ 是实数域或复数域上的向量空间. 范数是一个映射：

$$
\left\lVert \, \cdot \, \right\rVert : V \longrightarrow \left[0, +\infty\right)
$$

并且对任意 $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in V$ 以及任意标量 $\lambda$, 满足以下三个条件：

1. 正定性：

$$
\left\lVert \boldsymbol{x} \right\rVert \geqslant 0, \quad \left\lVert \boldsymbol{x} \right\rVert = 0 \Longleftrightarrow \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}
$$

2. 绝对齐次性：

$$
\left\lVert \lambda \boldsymbol{x} \right\rVert = \left|\lambda\right| \left\lVert \boldsymbol{x} \right\rVert
$$

3. 三角不等式：

$$
\left\lVert \boldsymbol{x} + \boldsymbol{y} \right\rVert \leqslant \left\lVert \boldsymbol{x} \right\rVert + \left\lVert \boldsymbol{y} \right\rVert
$$

因此，范数可以理解为向量长度的一种抽象刻画. 不同的范数可以给出不同的长度概念，但都必须满足上述三个基本条件.

二、常见的向量范数

对于向量 $\boldsymbol{x} = \left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}$, 当 $1 \leqslant p < \infty$ 时，向量的 $p$ 范数定义为：

$$
\left\lVert \boldsymbol{x} \right\rVert_{p} = \left( \sum\limits_{i = 1}^{n} \left|x_{i}\right|^{p} \right)^{\frac{1}{p}}
$$

特别地，常见范数包括以下三种：

一范数为：

$$
\left\lVert \boldsymbol{x} \right\rVert_{1} = \sum\limits_{i = 1}^{n} \left|x_{i}\right|
$$

二范数为：

$$
\left\lVert \boldsymbol{x} \right\rVert_{2} = \left( \sum\limits_{i = 1}^{n} \left|x_{i}\right|^{2} \right)^{\frac{1}{2}}
$$

无穷范数为：

$$
\left\lVert \boldsymbol{x} \right\rVert_{\infty} = \max\limits_{1 \leqslant i \leqslant n} \left|x_{i}\right|
$$

三、欧几里得范数与点到原点的距离

在欧几里得空间中，通常所说的向量长度指的是二范数，也称为欧几里得范数（欧几里得范数也是考研数学中常见的范数类型），具体定义如下：

在平面 $\mathbb{R}^{2}$ 中，设：

$$
\boldsymbol{P} = \left(x, y\right)
$$

则，向量 $\boldsymbol{P}$ 的欧几里得范数为（也就是坐标点到原点的距离）：

$$
\left\lVert \boldsymbol{P} \right\rVert_{2} = \sqrt{x^{2} + y^{2}}
$$

如果将点 $\boldsymbol{P}$ 看成从原点 $\boldsymbol{0}$ 指向该点的位置向量，那么 $\left\lVert \boldsymbol{P} \right\rVert_{2}$ 就等于点 $\boldsymbol{P}$ 到原点的欧几里得距离.

但是，严格地说，范数首先描述向量的长度，而两点之间的距离由两点之差的范数定义. 例如，对于任意两点 $\boldsymbol{P}, \boldsymbol{Q} \in \mathbb{R}^{n}$, 其欧几里得二范数的定义如下：

$$
d_{2}\left(\boldsymbol{P}, \boldsymbol{Q}\right) = \left\lVert \boldsymbol{P} – \boldsymbol{Q} \right\rVert_{2}
$$

特别地：

$$
d_{2}\left(\boldsymbol{P}, \boldsymbol{0}\right) = \left\lVert \boldsymbol{P} – \boldsymbol{0} \right\rVert_{2} = \left\lVert \boldsymbol{P} \right\rVert_{2}
$$

因此，直观地来看，一个点的欧几里得范数等于该点到坐标原点的距离，而两点之差的欧几里得范数就等于这两点之间的距离.

四、总结

1. 范数的本质是对向量长度的刻画；
2. 在欧几里得空间中，向量的二范数就是通常意义下的欧几里得长度；
3. 把点看成位置向量以后，点的二范数等于该点到原点的距离，而两个点之差的二范数等于两点之间的距离.

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