通过常用的“基本正交矩阵”快速解题

一、题目

设 $\boldsymbol{A} = \boldsymbol{E} – k \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\top}$（其中 $k \neq 0$）是正交矩阵，其中 $\boldsymbol{E}$ 是 $3$ 阶单位矩阵, $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $3$ 维单位列向量，则二次型 $x^{\top} \boldsymbol{A} x$ 的规范形为__.

二、解析

解法 1：较慢的方法

分析可知，要求解出二次型 $x^{\top} \boldsymbol{A} x$ 的规范形，首先就要求解出矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，即——

由于 $\boldsymbol{A}$ 为正交矩阵，所以，根据正交矩阵的性质可知：

$$
\boldsymbol{A}^{\top} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{E}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{A}^{\top} \boldsymbol{A} \\ \\
= \ & \left(\boldsymbol{E} – k \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\top} \right)^{\top} \times \left(\boldsymbol{E} – k \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\top} \right) \\ \\
= \ & \left(\textcolor{lightgreen}{ \boldsymbol{E}^{\top} } – \textcolor{violet}{ k^{\top} } \textcolor{yellow}{ \boldsymbol{\alpha}^{\top} } \textcolor{magenta}{ \left( \boldsymbol{\alpha}^{\top} \right)^{\top} } \right) \times \left(\boldsymbol{E} – k \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\top} \right) \\ \\
= \ & \left(\textcolor{lightgreen}{ \boldsymbol{E} } – \textcolor{violet}{k} \textcolor{yellow}{ \boldsymbol{\alpha} } \textcolor{magenta}{ \boldsymbol{\alpha}^{\top} } \right) \times \left(\boldsymbol{E} – k \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\top}\right) \\ \\
= \ & \boldsymbol{E}^{2} – \boldsymbol{E} k \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\top} – \boldsymbol{E} k \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\top} + k^{2} \textcolor{lightblue}{ \boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\top} \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\top} } \\ \\
= \ & \boldsymbol{E} – k \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\top} – k \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\top} + k^{2} \textcolor{lightblue}{ \boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\top} } \\ \\
= \ & \boldsymbol{E} – \left(2 k-k^{2} \right) \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\top} \\ \\
= \ & \boldsymbol{E}
\end{aligned}
$$

在上面的计算过程中，需要用到矩阵转置的运算律（公式 1，公式 2），并且，根据下面对矩阵 $\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\top}$ 的运算可知：$\textcolor{lightblue}{ \boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\top} \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\top} }$ $=$ $\textcolor{lightblue}{ \boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\top}}$, 因为 $\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$ $\times$ $\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$ $=$ $\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$.

因此，有（已知 $k \neq 0$）：

$$
2 k-k^{2}=0 \leadsto k = 2
$$

即：

$$
\boldsymbol{A} = \boldsymbol{E} – 2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\top}
$$

又因为，$\boldsymbol{\alpha}$ 是 $3$ 维单位列向量，所以：

$$
\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\top} = \begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$

所以，$\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\top}$ 是秩为 $1$ 的矩阵. 于是，根据秩为 $1$ 的矩阵的性质可知，矩阵 $\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\top}$ 的特征值为：

$$
1, \ 0, \ 0
$$

接着，根据矩阵运算与特征值运算的映射关系可知，$\boldsymbol{A} = \boldsymbol{E} – 2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\top}$ 的特征值为：

$$
-1, \ 1, \ 1
$$

综上可知，二次型 $x^{\top} \boldsymbol{A} x$ 的规范形为：

$$
y_{1}^{2} + y_{2}^{2} – y_{3}^{2}
$$

解法 2：较快的方法

我们知道：

$$
\begin{aligned}
1 & \times 1 = 1 \\
\left( -1 \right) & \times \left( -1 \right) = 1
\end{aligned}
$$

其实，在矩阵运算中，也有类似的性质：

$$
\begin{aligned}
& \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}^{\top} = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} = \boldsymbol{E} \\ \\
& \begin{bmatrix}
\textcolor{white}{\colorbox{green}{-1}} & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}
\textcolor{white}{\colorbox{green}{-1}} & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}^{\top} = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} = \boldsymbol{E} \\ \\
& \begin{bmatrix}
\textcolor{white}{\colorbox{green}{-1}} & 0 & 0 \\
0 & \textcolor{white}{\colorbox{green}{-1}} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}
\textcolor{white}{\colorbox{green}{-1}} & 0 & 0 \\
0 & \textcolor{white}{\colorbox{green}{-1}} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}^{\top} = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} = \boldsymbol{E} \\ \\
& \begin{bmatrix}
\textcolor{white}{\colorbox{green}{-1}} & 0 & 0 \\
0 & \textcolor{white}{\colorbox{green}{-1}} & 0 \\
0 & 0 & \textcolor{white}{\colorbox{green}{-1}}
\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}
\textcolor{white}{\colorbox{green}{-1}} & 0 & 0 \\
0 & \textcolor{white}{\colorbox{green}{-1}} & 0 \\
0 & 0 & \textcolor{white}{\colorbox{green}{-1}}
\end{bmatrix}^{\top} = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} = \boldsymbol{E}
\end{aligned}
$$

也就是说，对于三阶矩阵而言，下面这 $4$ 个以 $1$, $-1$ 和 $0$ 组成的，简单的矩阵可以看作一组“基本正交矩阵”：

$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}, \ \begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}, \ \begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}, \ \begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{bmatrix}
$$

掌握了上面的“基本正交矩阵”之后，接下来，我们就来使用“基本正交矩阵”实现对本题的快速求解——

首先，根据前面“解法 1”中得出的结论可知：

于是：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A} & = \boldsymbol{E} – k \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\top} \\ \\
& = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} – k \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \\ \\
& = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} – \begin{bmatrix}
k & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \\ \\
& = \begin{bmatrix}
1-k & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$