利用平方差公式和立方差公式求解分式的极限

平方差公式

已知，平方差公式为：

$$
\left( a+b \right) \times \left( a-b \right) = a^{2} – b^{2}
$$

所以：

$$
\left( 1 – \sqrt{x} \right) \left( 1 + \sqrt{x} \right) = 1-x
$$

于是：

$$
\lim_{x \rightarrow 1} \frac{1 – x}{2 \left( 1 – \sqrt{x} \right)} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\left( 1 – x \right) \left( 1 + \sqrt{x} \right)}{2 \left( 1 – x \right)} = 1
$$

难度评级：

立方差公式

已知，立方差公式为：

$$
a^{3} – b^{3} = \left( a-b \right) \times \left( a^{2} + b^{2} +ab \right)
$$

所以：

$$
\left( 1 – \sqrt[3]{x} \right) \left( \sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} + 1 \right) = 1 – x
$$

于是：

$$
\lim_{x \rightarrow 1} \frac{1 – x}{1 – \sqrt[3]{x}} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\left( 1 – x \right) \left( \sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} + 1 \right)}{1 – x} = 3
$$

难度评级：

$n$ 方差（$n$ 次幂差）公式

事实上，当 $n$ 为正整数的时候，对于式子 $a^{n} – b^{n}$, 我们有下面的通用计算公式：

$$
\begin{aligned}
a^{n} – b^{n} & = \left( a – b \right) \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} b^{k} \\ \\
& = \left( a – b \right) \left( a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^{2} + \cdots + ab^{n-2} + b^{n-1} \right)
\end{aligned}
$$

于是——

1. 当 $n=2$ 时，有：

$$
a^{2} – b^{2} = \left( a – b \right) \left( a + b \right)
$$

2. 当 $n=3$ 时，有：

$$
a^{3} – b^{3} = \left( a – b \right) \left( a^{2} + ab + b^{2} \right)
$$

3. 当 $n=4$ 时，有：

$$
a^{4} – b^{4} = \left( a – b \right) \left( a^{3} + a^{2}b + ab^{2} + b^{3} \right)
$$

需要注意的是，由于：

$$
a^{3} – b^{3} = \left( a – b \right) \left( a^{2} + ab + b^{2} \right) \textcolor{orangered}{ \neq \left( a – b \right) \left( a^{2} + 2ab + b^{2} \right) }
$$

即：

$$
a^{3} – b^{3} = \left( a – b \right) \left( a^{2} + ab + b^{2} \right) \textcolor{orangered}{ \neq \left( a – b \right) \left( a+b \right)^{3-1} }
$$

因此：

$$
\textcolor{orangered}{
a^{n} – b^{n} \neq \left( a-b \right) \left( a+b \right)^{n-1}
}
$$

---