求解逆矩阵的常用方法

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们汇总一下求解逆矩阵的常用方法.

二、正文

在本文中，我们设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 都是可逆矩阵.

方法 1：定义法

根据逆矩阵的定义，我们知道，如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 互为逆矩阵，则有：

$$
\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} = \boldsymbol{B}\boldsymbol{A} = \boldsymbol{E}
$$

因此，我们可以用逆矩阵的定义来求解逆矩阵，即：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{B}, \ \boldsymbol{B}^{-1} = \boldsymbol{A}
}
$$

方法 2：伴随矩阵法

根据伴随矩阵的定义，我们知道：

$$
\boldsymbol{A}^{*} = \boldsymbol{A}^{-1} \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix}
$$

于是，我们可以用伴随矩阵的定义来求解逆矩阵，即：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\boldsymbol{A}^{-1} = \frac{\boldsymbol{A}^{*}}{ \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix} }
}
$$

方法 3：分块矩阵法

对于分块矩阵，我们可以使用下面的公式快速求解其逆矩阵：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\begin{aligned}
& \begin{bmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{bmatrix} \\ \\
& \begin{bmatrix} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \\ \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \end{bmatrix}
\end{aligned}
}
$$

方法 4：初等变换法

根据《初等变换求逆法的形象理解》这篇文章可知——

对于矩阵 $\boldsymbol{A}$, 我们可以用初等行变换的方式得到其逆矩阵，即：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{E}
\end{pmatrix} \xrightarrow{\text{初等行变换}} \begin{pmatrix}
\boldsymbol{E} \mid \boldsymbol{A}^{-1}
\end{pmatrix}
}
$$

也可以用初等列变换的方式得到其逆矩阵，即：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{E}
\end{pmatrix} \xrightarrow{\text{初等列变换}} \begin{pmatrix}
\boldsymbol{E} \\
\boldsymbol{A}^{-1}
\end{pmatrix}
}
$$

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