快速求解二阶矩阵的伴随矩阵：主对调、副变号

一、前言

通过《求解分块矩阵的伴随矩阵》这篇文章，我们学会了如何快速求解分块矩阵的伴随矩阵，即：

$$
\begin{bmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{bmatrix}^{*} = \begin{bmatrix} |\boldsymbol{B}| \boldsymbol{A}^{*} & – \boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{B}^{*} \\ \boldsymbol{O} & |\boldsymbol{A}| \boldsymbol{B}^{*} \end{bmatrix}
$$

又根据《一阶矩阵的伴随矩阵是多少？》这篇文章可知，如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 都是一阶矩阵的话，则：

$$
\boldsymbol{A}^{*} = \boldsymbol{B}^{*} = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}
$$

于是，对于一个形如 $\begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & b \end{bmatrix}$ 的二阶矩阵，其伴随矩阵的计算公式为：

$$
\begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & b \end{bmatrix}^{*} = \begin{bmatrix}
|b| \cdot 1 & -1 \cdot 1 \\
0 & a \cdot 1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
b & -1 \\
0 & a
\end{bmatrix}
$$

但是，直接使用针对分块矩阵的伴随矩阵计算公式，只能计算类似 $\begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & b \end{bmatrix}$ 这样的二阶矩阵的伴随矩阵，接下来，我们就来看看如何快速计算任意一个二阶矩阵的伴随矩阵.

二、正文

对于任意一个形如 $\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}^{*}$ 的二阶矩阵，其伴随矩阵的计算公式为：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}^{*} = \begin{bmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{bmatrix}
}
$$

下面我们来证明上述公式：

首先，根据余子式的定义和代数余子式的计算公式，可知：

$$
\begin{aligned}
& A_{11} = (-1)^{1+1} \cdot d = d \\
& A_{12} = (-1)^{1+2} \cdot c = – c \\
& A_{21} = (-1)^{2+1} \cdot b = – b \\
& A_{22} = (-1)^{2+2} \cdot a = a
\end{aligned}
$$

于是，根据伴随矩阵的定义可得：

$$
\textcolor{lightgreen}{ \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}^{*} } = \begin{bmatrix}
A_{11} & A_{21} \\
A_{12} & A_{22}
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
(-1)^{1+1} d & (-1)^{1+2} b \\
(-1)^{2+1} c & (-1)^{2+2} a
\end{bmatrix} = \textcolor{lightgreen}{ \begin{bmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{bmatrix} }
$$

综上可知，快速求解二阶矩阵的伴随矩阵的口诀就是：

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