同一个不定积分的不同计算结果真的只相差任意常数吗？

一、前言

我们知道，对不定积分的计算结果都要加上一个常数 $C$, 例如：

$$
\int f(x) \mathrm{~d} x = Z(x) + C
$$

也就是说，无论是 $Z(x) + 1$, $Z(x) + 2$, 还是 $Z(x) + 100$ 都是不定积分 $\int f(x) \mathrm{~d} x$ 的计算结果.

那么，是否存在一些不定积分，其结果可以表示为两个不同的函数，并且这两个函数之间并不是相差一个常数的关系呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过两个例子，来讨论一下这一问题.

二、正文

§2.1 例子 1

当 $x > 0$, $C$ 为任意常数时，由于 $\left( \ln x \right) ^{\prime}$ $=$ $\dfrac{1}{x}$, 所以：

$$
\int \frac{1}{x} \mathrm{~d} x = \ln x + C
$$

当 $x > 0$, $a$ 为正的常数，$C$ 为任意常数时，由于 $\left( \ln ax \right) ^{\prime}$ $=$ $\dfrac{1}{ax} \times a$ $=$ $\dfrac{1}{x}$, 所以：

$$
\int \frac{1}{x} \mathrm{~d} x = \ln ax + C
$$

通过上面的过程，我们看上去得到了一个有关不定积分 $\int \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$ 的两个完全不相同的原函数 $\ln x$ 和 $\ln ax$, 但事实上，由于：

$$
\ln ax – \ln x = \ln a + \ln x – \ln x = \ln a
$$

所以：

$$
\int \frac{1}{x} \mathrm{~d} x = \ln x + C + \ln a = \ln ax
$$

也就是说，$\ln ax$ 和 $\ln x$ 实际上也是相差了一个常数.

§2.2 例子 2

当 $x > 0$, $C$ 为任意常数时，由于 $\left( \frac{-1}{2} \cos 2x \right) ^{\prime}$ $=$ $\sin 2x$, 所以：

$$
\int \sin 2x \mathrm{~d} x = \frac{-1}{2} \cos 2x + C
$$

当 $x > 0$, $C$ 为任意常数时，由于 $\left( \sin^{2} x \right) ^{\prime}$ $=$ $\sin 2x$, 所以：

$$
\int \sin 2x \mathrm{~d} x = \sin^{2} x + C
$$

通过上面的过程，我们看上去得到了一个有关不定积分 $\int \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$ 的两个完全不相同的原函数 $\frac{-1}{2} \cos 2x$ 和 $\sin^{2} x$, 但事实上，由于 $1 – \cos 2x$ $=$ $2 \sin ^{2} x$ $\Rightarrow$ $\dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{2} \cos 2x$ $=$ $\sin ^{2} x$, 即：

$$
\sin^{2} x – \left( \frac{-1}{2} \cos 2x \right) = \frac{1}{2}
$$

所以：

$$
\int \sin 2x \mathrm{~d} x = \sin^{2} x + C – \dfrac{1}{2} = \frac{-1}{2} \cos 2x + C
$$

也就是说，$\sin^{2} x$ 和 $\frac{-1}{2} \cos 2x$ 实际上也是相差了一个常数.

三、总结

通常情况下，对于一个不定积分，如果有：

$$
\int f(x) \mathrm{~d} x = Z(x) + C
$$

$$
\int f(x) \mathrm{~d} x = K(x) + C
$$

则有：

$$
Z(x) – K(x) = \text{常数}
$$

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