一、题目
设常数 $k > 0$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{k+n}{n^{2}} = ?$
(A) 发散.
(B) 绝对收敛.
(C) 条件收敛.
(D) 敛散性与 $k$ 值有关.
二、解析
根据《常见级数的敛散性（扩展版）》，我们知道 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{k}{n^{2}}$ 收敛, $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ 发散. 又根据《借助向量工具研究数列加减运算之后的敛散性》这篇文章可知，收敛级数和发散级数相加所得的级数一定发散.
并且：
$$
\begin{aligned}
\textcolor{lightgreen}{ \sum_{n=1}^{\infty} \left|(-1)^{n}\frac{k+n}{n^{2}}\right| } & = \sum_{n=1}^{\infty} \left| (-1)^{n} \right| \cdot \left|\frac{k+n}{n^{2}} \right| \\ \\
& = \sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{k+n}{n^{2}}\right| \\ \\
& = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{k+n}{n^{2}}\right) \\ \\
& = \textcolor{lightgreen}{ \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{k}{n^{2}}+\frac{1}{n}\right) }
\end{aligned}
$$
所以，当 $k > 0$ 的时候，级数 $\textcolor{lightgreen}{ \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{k}{n^{2}}+\frac{1}{n}\right) }$ 发散，也就是级数 $\textcolor{lightgreen}{ \sum_{n=1}^{\infty} \left|(-1)^{n}\frac{k+n}{n^{2}}\right| }$ 发散.
接着，根据《常见级数的敛散性（扩展版）》可知，级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}k}{n^{2}}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}$ 都收敛, 所以级数 $\textcolor{orangered}{ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{k+n}{n^{2}} }$ 收敛.
综上，根据《条件收敛的定义》，我们知道, 由于级数 $\textcolor{orangered}{ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{k+n}{n^{2}} }$ 本身收敛，但加上绝对值后的级数 $\textcolor{lightgreen}{ \sum_{n=1}^{\infty} \left|(-1)^{n}\frac{k+n}{n^{2}}\right| }$ 发散，所以级数 $\textcolor{orangered}{ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{k+n}{n^{2}} }$ 条件收敛.
综上可知，本 题 应 选 C 