常见级数的敛散性（扩展版）

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们总结和扩展一下常见级数的敛散性。

二、正文

等比级数

已知 $a$ 和 $q$ 为常数，则：

$$
\sum_{n=\textcolor{white}{\colorbox{green}{1}}}^{\infty} a q^{n-1} \begin{cases}
= \frac{a}{1-q}, & |q| < 1, \\
\text{发散}, & |q| \geqslant 1.
\end{cases}
$$

等比级数有时候也被称为“几何级数”.

$p$ 级数

已知 $p$ 为常数，则：

$$
\sum_{n=\textcolor{white}{\colorbox{green}{1}}}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} \begin{cases}
\text{收敛}, & p > 1, \\
\text{发散}, & p \leqslant 1.
\end{cases}
$$

已知 $p$ 和 $k$ 为常数，则：

$$
\sum_{n=\textcolor{white}{\colorbox{green}{1}}}^{\infty} \frac{k}{n^{p}} = k \sum_{n=\textcolor{white}{\colorbox{green}{1}}}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} \begin{cases}
\text{收敛}, & p > 1, \\
\text{发散}, & p \leqslant 1.
\end{cases}
$$

当 $p = 1$ 的时候，$p$ 级数就成了“调和级数”，调和级数是一个典型的发散级数：

$$
1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n} \rightarrow \infty
$$

对数级数

已知 $p$ 为常数，则：

$$
\sum_{n=\textcolor{white}{\colorbox{red}{2}}}^{\infty} \frac{1}{n \ln ^{p} n} \begin{cases}
\text{收敛}, & p > 1, \\
\text{发散}, & p \leqslant 1.
\end{cases}
$$

已知 $p$ 和 $k$ 为常数，则：

$$
\sum_{n=\textcolor{white}{\colorbox{red}{2}}}^{\infty} \frac{k}{n \ln ^{p} n} = k \sum_{n=\textcolor{white}{\colorbox{red}{2}}}^{\infty} \frac{1}{n \ln ^{p} n} \begin{cases}
\text{收敛}, & p > 1, \\
\text{发散}, & p \leqslant 1.
\end{cases}
$$

---