周期函数的兄弟：波纹函数

一、前言

我们知道，所谓周期函数就是满足下式的函数：

$$f(x+T)=f(x)$$

其中，常数 $T\ne 0$ 就是周期函数 $f(x)$ 的最小正周期。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将定义一种具有和周期函数类似性质的“波纹函数”——

由于水波函数和周期函数具有一定程度上相似的性质，所以，我们在做题的时候，可以借助对周期函数的研究思路和研究波纹函数。

二、正文

如果说周期函数的函数图像是平直流淌的小河中，规律起伏的水流，那么，波纹函数就是一粒石子在平静的湖面中，激荡起的层层涟漪。

所以，周期函数就是在坐标系的横轴尺度和纵轴尺度上都表现出严格规律性的函数，而波纹函数则只是在坐标系的横轴尺度上表现出严格规律性，而在纵轴尺度上表现出递进规律性的函数。

波纹函数虽然不具有周期函数的图像周期性，但是仍然会出现一些周期性的特征，例如函数值会周期性的等于零，或者单调性会周期性的发生改变。

当然，由于波纹函数与周期函数非常类似，所以，我们同样可以用单路径约束法判断一个函数是否是波纹函数。

一般情况下，我们可以通过四则运算的方式连接在指定的区间 $(a,b)$ 内具有单调性和周期性的若干个函数，得到一个波纹函数。

函数 $y=x\sin x$ 是一个波纹函数，如图 01 所示：

函数 $y=x\cos x$ 是一个波纹函数，如图 02 所示：

函数 $y=x^2\sin x$ 是一个波纹函数，如图 03 所示：

函数 $y=x+\sin x$ 是一个波纹函数，如图 04 所示：

函数 $y={\mathrm{e}}^x+\sin x$ 是一个波纹函数，如图 05 所示：

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