峰式 (FENG Type) 图形法：直观地理解数列及数列的基本性质

一、前言

在高等数学中，我们一般会用 “$\{ x_{n} \}$” 或者 “$\{ y_{n} \}$” 表示数列，数列和函数有很多异同点，要想深入地理解数列，首先就要明白什么是数列，以及数列的敛散性。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用通俗易懂的解释，为同学们讲明白数列的那些事。

二、正文

什么是数列？

简单地说，数列就是“一列数”——假设我们有一个数轴，我们每次在数轴上取一个数，并把取出来的数按照从左向右（也可以从右向左排列，甚至是从上到下、从下到上等任何排列形式，从左到右排列只是习惯性排列形式）的方式排成一列，那么，这列数就构成了一个数列——需要注意的是，我们并不要求在数轴上取数的时候必须在数轴上从左向右取值，或者在数轴上从右向左取值，我们在数轴上的取值没有任何数值大小和相对位置上的要求（尽管我们常见的数列都是具有一定规律，甚至可以写出通项表达式的数列）。

例如，我们要构造一个数列 $\{ x_{n} \}$, 并且有如下这样这一个数轴：

接着，我们在数轴上取一个点 $-1$, 此时，数列 $\{ x_{n} \}$ $=$ $\{ -1 \}$:

在数轴上再取一个点 $2$, 此时，数列 $\{ x_{n} \}$ $=$ $\{ -1, 2 \}$:

在数轴上再取一个点 $1$, 此时，数列 $\{ x_{n} \}$ $=$ $\{ -1, 2, 1 \}$:

在数轴上再取一个点 $-3$, 此时，数列 $\{ x_{n} \}$ $=$ $\{ -1, 2, 1, -3 \}$:

在数轴上再取一个点 $2$, 此时，数列 $\{ x_{n} \}$ $=$ $\{ -1, 2, 1, -3, 2 \}$:

如果我们截止到这一步，那么，就可以说，我们得到了一个数列 $\{ x_{n} \}$. 当然，我们也可以继续在数轴上取点，从而构造一个包含更多数字的数列。

此外，如果我们将一个数列（也就是一列数）看作是由 $2$ 个子列或者 $n$ 个子列数组成的，那么，我们就可以将数列的取值过程看作是在多个数轴（每个数轴代表一个子列）上交替（每次在每个数轴上取值的个数没有限制）完成的。例如，如果我们把数列 $\{ y_{n} \}$ 拆分成 $\{ y_{n_{1}} \}$ 和 $\{ y_{n_{2}} \}$ 两个子列，则构成数列 $\{ y_{n} \}$ $=$ $\{ 1, 1, -1, -2, -3, 1 \}$ 的数字取值过程就如图 07 所示：

当然，数轴的子列也不是必须绘制成如图 07 这样相互垂直的两个数轴，也可以绘制成相互平行的两个数轴：

什么是数列的有界性？

只在数轴的某个有界区间上取值的数列就是收敛数列——这里的“有界区间”可以是左右都有界的区间，也可以是仅仅左有界的区间，或者右有界的区间。

例如，图 09 所示的数列的取值点都落在有界闭区间 $[-2, 1]$ 内，因此，这个数列就是一个左右都有界的数列：

为什么必须是“闭区间”呢？因为数列的取值具有“趋向性”，一旦取值趋向于数轴的某一侧，而这一侧刚好不是闭区间，那么数列在该方向上就不是有界数列。

如图 10 所示，虽然取值点具有向左或者向右的取值趋势，但是由于都被封锁在闭区间 $[-2, 1]$ 内，所以这仍然是一个左右都有界的数列：

但是，如图 11 所示，取值点的受限区间为 $[-2, + \infty)$, 并且取值点有向数轴正半轴无限延伸的趋势，那么，对应的数列就是一个左有界而右无界（或者说“下有界而上无界”）的数列：

当然，如果将数列拆分成多个子列进行研究，那么，每个子列在取值的时候，也必须保证都在某个有界区间内取值，这样才是一个左右都有界的数列：

假如，一个数列可以分成如图 13 所示的两个子列，那么，即便一个子列在数轴的正方向上是有界的，但因为另一个子列在数轴的正方向上是无界的，那么，所得的整个数列在数轴的正方向上（通常也就是数轴的右侧或者上方）是无界的：

什么是数列的敛散性（数列极限）？

如果一个数列是收敛的，那么反映在数轴上就是其取值是具有方向性的，这个“方向”就是都趋向于极限值，同时当取值次数足够大的时候（$n \rightarrow \infty$），取值一定在极限值附近，且“紧密挨着”极限值。

例如，下面数轴上数字的取值方向并不唯一，且没有都指向同一个数值（这个数值就是极限值），因此，其生成的数列就是没有极限值的，也就是发散数列：

下面数轴上数字的取值方向也不唯一，但是其取值方向都指向了同一个数值 $-1$, 且当 $n \rightarrow \infty$ 的时候，$-1$ 的附近不存在指向其他数值趋势的取值，因此，$-1$ 就是该数列的极限值，该数列也就是一个收敛数列：

同时，由于收敛数列的极限值本身就可以看作一个对取值区间的限制，因此，图 15 中的收敛数列虽然没有指明所在的闭区间，但事实上，取值范围所在的区间也就是有界的，这个有界区间就是 $(- \infty, -1] \cup [-1, + \infty)$.

当然，如果我们将数列拆分成多个子列，以轮询或者交替的方式在多个数轴上取值，所取的数值在 $n \rightarrow \infty$ 的时候，仍然都要具有指向极限值的趋势：

深入理解可以发现，收敛的数列，或者说具有极限值的数列一定是有无限项的数列，并且，在数列的前面有限项，可以没有指向数列极限值的趋势的。

例如，下面的数列 $\{ a_{n} \}$ 的前 $6$ 项并没有产生极限的趋势，但这并不妨碍当 $n \rightarrow \infty$ 的时候，其收敛于极限值 $1.6$:

$$
\textcolor{yellow}{
\{ a_{n} \} = \begin{cases}
(-1)^{n}, & n = 1,2,3,4,5,6; \\
1.6 + \frac{1}{n}, & n \geqslant 7
\end{cases}
}
$$

当然，即便是在 $n \rightarrow \infty$ 且 $n$ 足够大的时候，其中一项也不一定必须大于或者小于其前一项。例如，在上面的图 16 中，当我们以交替的方式在其表示的两个子列上取值的时候，当前在水平数轴上所取的值，不一定要大于或者小于上一次在垂直数轴上所取的值——只要两个子列的取值方向都趋于极限值即可。

例如，下面这个数列 $\{ b_{n} \}$, 其奇数项是 $\frac{1}{3}$ 的连续整数次方，偶数项是 $\frac{1}{2}$ 的连续整数次方，虽然当 $n \rightarrow \infty$ 的时候，$\{ b_{n} \}$ 中相邻的项并不是单调递减，而是不断“起伏”，但这并不妨碍 $\{ b_{n} \}$ 的极限值存在且为 $0$:

$$
\begin{aligned}
& \{ b_{n} \} = \begin{cases}
\textcolor{violet}{ \left( \frac{1}{3} \right)^{a} }, & n \text{ 为奇数}, a = 1,2,3, \cdots \\ \\
\textcolor{pink}{ \left( \frac{1}{2} \right)^{b} }, & n \text{ 为偶数}, b = 1,2,3, \cdots
\end{cases} \\ \\
\Rightarrow \ & \{ b_{n} \} = \textcolor{violet}{ \frac{1}{3} }, \ \textcolor{pink}{\frac{1}{2}}, \ \textcolor{violet}{\frac{1}{9}}, \ \textcolor{pink}{\frac{1}{4}}, \ \textcolor{violet}{\frac{1}{27}}, \ \textcolor{pink}{\frac{1}{8}}, \ \cdots
\end{aligned}
$$

如何构造一个数列？

一般情况下，我们构造的数列都是有规律可循的，大部分都可以写出具体的表达式。

但是，构造一个数列并不一定需要写出一个具体的表达式，我们可以只构造一个“ 思 想 上 的 数 列 ”，也就是说，假设存在一个“人”，可以按照我们解题的需求，构造出一个可能存在的数列，这个数列的具体表达式是什么不重要，也无需写出来（因为我们可以假定这个“人”能一直将这个数列写下去，直到第 $n$ 项），我们只需要保证这个数列满足我们的需求，并且没有违背基本的数学公理即可。

这样一个“思想上的数列”，可以帮助我们专注于解题的逻辑，而不是写出严格的证明过程，非常适用于选择题和填空题的快速判断和求解。

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