构成卡方分布的正态分布必须是标准正态分布且系数为 1

一、题目

已知 ${\xi }_1$, ${\xi }_2$, $\cdots$, ${\xi }_8$ 是来自标准正态分布的总体 $\xi \sim N(0,1)$ 的容量为 $8$ 的简单随机样本，而 $\eta$ $=$ ${({\xi }_1+{\xi }_2+{\xi }_3+{\xi }_4)}^2$ $+$ ${({\xi }_5+{\xi }_6+{\xi }_7+{\xi }_8)}^2$.

试求常数 $k$, 使得随机变量 $k\eta$ 服从 ${\chi }^2$ 分布，同时指出 ${\chi }^2$ 分布的自由度。

难度评级：

二、解析

对于式子 $\eta$ $=$ ${({\xi }_1+{\xi }_2+{\xi }_3+{\xi }_4)}^2$ $+$ ${({\xi }_5+{\xi }_6+{\xi }_7+{\xi }_8)}^2$, 我们首先令：

$${\eta }_1={\xi }_1+{\xi }_2+{\xi }_3+{\xi }_4$$

$${\eta }_2={\xi }_5+{\xi }_6+{\xi }_7+{\xi }_8$$

于是，根据正态分布的运算公式：

$$\begin{array}{l}{\mathrm{X}}_1\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)\\ {\mathrm{X}}_2\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)\end{array}\}\Rightarrow {\mathrm{X}}_1\pm {\mathrm{X}}_2\sim N({\mu }_1\pm {\mu }_2,{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)$$

可得：

$$\begin{array}{rl}& {\eta }_1\sim N(0+0+0+0，1+1+1+1)\\ \Rightarrow & {\eta }_1\sim N(0,4)\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& {\eta }_2\sim N(0+0+0+0，1+1+1+1)\\ \Rightarrow & {\eta }_2\sim N(0,4)\end{array}$$

于是：

$$\begin{array}{rl}& \eta ={({\xi }_1+{\xi }_2+{\xi }_3+{\xi }_4)}^2+{({\xi }_5+{\xi }_6+{\xi }_7+{\xi }_8)}^2\\ \Rightarrow & \eta ={\eta }_1^2+{\eta }_2^2\end{array}$$

虽然 ${\eta }_1$ 和 ${\eta }_2$ 都服从正态分布，但是要构成卡方分布，需要的是标准正态分布，所以，我们还使用一般的正态分布转换为标准正态分布的转换公式，将 ${\eta }_1$ 和 ${\eta }_2$ 服从的正态分布标准化：

$$\begin{array}{rl}& {\eta }_1\sim N(0,4)⇝{\mathrm{E}}_1=\frac{{\eta }_1–0}{\sqrt{4}}⇝{\mathrm{E}}_1\sim N(0,1)⇝{\eta }_1=2{\mathrm{E}}_1\\ \\ & {\eta }_2\sim N(0,4)⇝{\mathrm{E}}_2=\frac{{\eta }_2–0}{\sqrt{4}}⇝{\mathrm{E}}_1\sim N(0,1)⇝{\eta }_2=2{\mathrm{E}}_2\end{array}$$

于是：

$$\begin{array}{rl}\eta & ={\eta }_1^2+{\eta }_2^2=(2{\mathrm{E}}_1{)}^2+(2{\mathrm{E}}_2{)}^2\\ \Rightarrow k\eta & =4k({\mathrm{E}}_1^2+{\mathrm{E}}_2^2)\end{array}$$

接着，根据卡方分布的定义：

$$\begin{array}{l}{\mathrm{E}}_1\sim N(0,1)\\ {\mathrm{E}}_2\sim N(0,1)\\ \cdots \sim N(0,1)\\ {\mathrm{E}}_n\sim N(0,1)\end{array}\}\Rightarrow \mathrm{C}=1\cdot ({\mathrm{E}}_1^2+{\mathrm{E}}_2^2+\cdots +{\mathrm{E}}_n^2)⇝\mathrm{C}\sim {\chi }^2(n)$$

可知，卡方分布不仅是多个标准正态分布的平方和，而且系数必须为 $1$.

因此，若要使 $k\eta$ $=$ $4k({\mathrm{E}}_1^2+{\mathrm{E}}_2^2)$ 服从卡方分布，必须有：

$$4k=1⇝\mathit{k}=\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}$$

综上可知，当常数 $\mathit{k}$ $=$ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}$ 的时候，随机变量 $k\eta$ 服从自由度为 $\mathbf{2}$ 的 ${\chi }^2$ 分布。

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