构成卡方分布的正态分布必须是标准正态分布且系数为 1

一、题目

已知 $\xi_{1}$, $\xi_{2}$, $\cdots$, $\xi_{8}$ 是来自标准正态分布的总体 $\xi \sim N(0, 1)$ 的容量为 $8$ 的简单随机样本，而 $\eta$ $=$ $\left( \xi_{1} + \xi_{2} + \xi_{3} + \xi_{4} \right)^{2}$ $+$ $\left( \xi_{5} + \xi_{6} + \xi_{7} + \xi_{8} \right)^{2}$.

试求常数 $k$, 使得随机变量 $k \eta$ 服从 $\chi^{2}$ 分布，同时指出 $\chi^{2}$ 分布的自由度。

难度评级：

二、解析

对于式子 $\eta$ $=$ $\left( \xi_{1} + \xi_{2} + \xi_{3} + \xi_{4} \right)^{2}$ $+$ $\left( \xi_{5} + \xi_{6} + \xi_{7} + \xi_{8} \right)^{2}$, 我们首先令：

$$
\textcolor{pink}{ \eta_{1} } = \textcolor{pink}{ \xi_{1} + \xi_{2} + \xi_{3} + \xi_{4} }
$$

$$
\textcolor{violet}{ \eta_{2} } = \textcolor{violet}{ \xi_{5} + \xi_{6} + \xi_{7} + \xi_{8} }
$$

于是，根据正态分布的运算公式：

$$
\textcolor{yellow}{
\begin{rcases}
\mathrm{X}_{1} \sim N (\mu_{1}, \ \sigma_{1}^{2}) \\
\mathrm{X}_{2} \sim N (\mu_{2}, \ \sigma_{2}^{2})
\end{rcases}
\Rightarrow
\mathrm{X}_{1} \pm \mathrm{X}_{2} \sim N (\mu_{1} \pm \mu_{2}, \ \sigma_{1}^{2} + \sigma_{2}^{2})
}
$$

可得：

$$
\begin{aligned}
& \eta_{1} \sim N (0+0+0+0， 1+1+1+1) \\
\Rightarrow \ & \textcolor{pink}{ \eta_{1} \sim N(0, 4) }
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& \eta_{2} \sim N (0+0+0+0， 1+1+1+1) \\
\Rightarrow \ & \textcolor{violet}{ \eta_{2} \sim N(0, 4) }
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
& \eta = \textcolor{pink}{ \left( \xi_{1} + \xi_{2} + \xi_{3} + \xi_{4} \right)^{2} } + \textcolor{violet}{ \left( \xi_{5} + \xi_{6} + \xi_{7} + \xi_{8} \right)^{2} } \\
\Rightarrow \ & \eta = \textcolor{pink}{\eta_{1}^{2}} + \textcolor{violet}{\eta_{2}^{2}}
\end{aligned}
$$

虽然 $\eta_{1}$ 和 $\eta_{2}$ 都服从正态分布，但是要构成卡方分布，需要的是标准正态分布，所以，我们还使用一般的正态分布转换为标准正态分布的转换公式，将 $\eta_{1}$ 和 $\eta_{2}$ 服从的正态分布标准化：

$$
\begin{aligned}
& \textcolor{pink}{ \eta_{1} } \sim N(0, 4) \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \mathrm{E}_{1} = \frac{\eta_{1} – 0}{\sqrt{4}} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \textcolor{gray}{ \mathrm{E}_{1} \sim N(0, 1) } \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \textcolor{pink}{ \eta_{1} } = \textcolor{pink}{ 2 \mathrm{E}_{1} } \\ \\
& \textcolor{violet}{ \eta_{2} } \sim N(0, 4) \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \mathrm{E}_{2} = \frac{\eta_{2} – 0}{\sqrt{4}} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \textcolor{gray}{ \mathrm{E}_{1} \sim N (0, 1) } \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \textcolor{violet}{\eta_{2}} = \textcolor{violet}{ 2 \mathrm{E}_{2} }
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
\eta & = \textcolor{pink}{\eta_{1}^{2}} + \textcolor{violet}{\eta_{2}^{2}} = (\textcolor{pink}{2 \mathrm{E}_{1}})^{2} + (\textcolor{violet}{2 \mathrm{E}_{2}})^{2} \\
\Rightarrow \ k \eta & = \textcolor{orangered}{ 4 k } (\textcolor{pink}{\mathrm{E}_{1}^{2}} + \textcolor{violet}{\mathrm{E}_{2}^{2}})
\end{aligned}
$$

接着，根据卡方分布的定义：

$$
\begin{rcases}
\mathrm{E}_{1} \sim N (0, 1) \\
\mathrm{E}_{2} \sim N (0, 1) \\
\cdots \sim N (0, 1) \\
\mathrm{E}_{n} \sim N (0, 1) \\
\end{rcases}
\Rightarrow
\mathrm{C} = \textcolor{orange}{1} \cdot \left( \mathrm{E}_{1}^{2} + \mathrm{E}_{2}^{2} + \cdots + \mathrm{E}_{n}^{2} \right) \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \textcolor{yellow}{ \mathrm{C} \sim \chi^{2}(n) }
$$

可知，卡方分布不仅是多个标准正态分布的平方和，而且系数必须为 $\textcolor{orange}{1}$.

因此，若要使 $k \eta$ $=$ $\textcolor{orangered}{ 4 k } (\textcolor{pink}{\mathrm{E}_{1}^{2}} + \textcolor{violet}{\mathrm{E}_{2}^{2}})$ 服从卡方分布，必须有：

$$
\textcolor{orangered}{ 4 k } = \textcolor{orangered}{ 1 } \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{k}} = \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\frac{1}{4}}}
$$

综上可知，当常数 $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ k }}$ $=$ $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\frac{1}{4}}}$ 的时候，随机变量 $k \eta$ 服从自由度为 $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{2}}$ 的 $\chi^{2}$ 分布。

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