证明对数的“换底”/“基变换”公式

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将给出下面这个对数换底公式（也称“对数基变换公式”）的详细证明：

$${\log }_{y}x=\frac{{\log }_{\beta }x}{{\log }_{\beta }y}$$

二、正文

首先，设：

$${\log }_{y}x=k$$

于是：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& x=y^k\end{array}$$

对上面 $(1)$ 式的等号两端同时取底数为 $\beta$ 的对数，得：

$${\log }_{\beta }x={\log }_{\beta }{y}^k$$

继续运算，可得：

$$\begin{array}{rl}& {\log }_{\beta }x=k{\log }_{\beta }y\\ \\ \Rightarrow & k=\frac{{\log }_{\beta }x}{{\log }_{\beta }y}\end{array}$$

又因为：

$$k={\log }_{y}x$$

所以：

$${\mathbf{log}}_{\mathit{y}}\mathbf{}\mathit{x}\mathbf{=}\frac{{\mathbf{log}}_{\mathit{\beta }}\mathbf{}\mathit{x}}{{\mathbf{log}}_{\mathit{\beta }}\mathbf{}\mathit{y}}$$

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