投石问路：线性代数中的升阶法详解

一、前言

在对高阶行列式进行计算的时候，其中一种计算方式就是“升阶”，也就是将原来的 $n$ 阶行列式升为 $n+1$ 阶行列式。

那么，什么样的行列式可以尝试升阶操作？怎么进行升阶操作？升阶之后该怎么进行接下来的计算呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将就以上问题为同学们详细讲解。

二、正文

什么是升阶法？

对于下面的 $n\times n$ 阶的行列式（行列式一定是“方”的，行数和列数不相等的行列式没有数学意义）：

$$\left|\begin{array}{c}K\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{12}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

我们可以通过给其添加的如下橙色部分所示的行和列的方式，对行列式的阶数进行扩展，因为按照第一列对下面的行列式进行展开，所得的值和原来的行列式 $\left|\begin{array}{c}K\end{array}\right|$ 一样：

$$\left|\begin{array}{c}{K}_1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccccc}1& b_1& b_2& \cdots & b_n\\ 0& a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ 0& a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

当然，按照类似的思路，也可以将行列式 $\left|\begin{array}{c}K\end{array}\right|$ 扩展成如下的等价形式：

$$\left|\begin{array}{c}{K}_2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \cdots & 0\\ b_1& a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ b_2& a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_n& a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

即：

$$\left|\begin{array}{c}K\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}{K}_1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}{K}_2\end{array}\right|$$

怎么计算升阶之后的矩阵？

一般情况下：

[1]. 如果将行列式 $\left|\begin{array}{c}K\end{array}\right|$ 升阶为 $\left|\begin{array}{c}{K}_1\end{array}\right|$, 则要寻求将 $\left|\begin{array}{c}{K}_1\end{array}\right|$ 转化为上三角行列式；

[2]. 如果将行列式 $\left|\begin{array}{c}K\end{array}\right|$ 升阶为 $\left|\begin{array}{c}{K}_2\end{array}\right|$, 则要寻求将 $\left|\begin{array}{c}{K}_2\end{array}\right|$ 转化为下三角行列式。

什么样的矩阵适合用升阶法？

一般情况下，满足下面特征的行列式都可以尝试升阶操作：

[1]. 原行列式的阶数大于三阶（小于或者等于三阶的行列式直接展开，计算速度更快）；

[2]. 原行列式中除了主对角线元素之外，每一行或者每一列中都有很多相同或者相似的元素——事实上，在升阶时，$b_1$, $b_2$, $\cdots$, $b_n$ 的取值往往就是所在位置对应的原行列式的行或者列中出现次数最多的元素取值。

更多升阶形式

当然，我们也可以将行列式 $\left|\begin{array}{c}K\end{array}\right|$ 扩展为如下所示的行列式 $\left|\begin{array}{c}{K}_3\end{array}\right|$ 和行列式 $\left|\begin{array}{c}{K}_4\end{array}\right|$, 即：

$$\left|\begin{array}{c}{K}_3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccccc}{b}_1& b_2& \cdots & b_n& 1\\ a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}& 0\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}& 0\end{array}\right|$$

$$\left|\begin{array}{c}{K}_4\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& \cdots & 1\\ a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}& b_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}& b_n\end{array}\right|$$

一般情况下：

[1]. 如果将行列式 $\left|\begin{array}{c}K\end{array}\right|$ 升阶为 $\left|\begin{array}{c}{K}_3\end{array}\right|$, 则要寻求将 $\left|\begin{array}{c}{K}_3\end{array}\right|$ 转化为反上三角行列式；

[2]. 如果将行列式 $\left|\begin{array}{c}K\end{array}\right|$ 升阶为 $\left|\begin{array}{c}{K}_4\end{array}\right|$, 则要寻求将 $\left|\begin{array}{c}{K}_4\end{array}\right|$ 转化为反下三角行列式。

例题一

题目

$$\begin{array}{r}\left|\begin{array}{c}D\end{array}\right|\\ \\ =& \left|\begin{array}{cccc}1+a& 1& 1& 1\\ 1& 1-a& 1& 1\\ 1& 1& 1+b& 1\\ 1& 1& 1& 1-b\end{array}\right|=?\end{array}$$

难度评级：

解析

在本题中，我们采用升阶的方式完成对行列式 $\left|\begin{array}{c}D\end{array}\right|$ 的求解：在原行列式的最左侧扩展一列 $(\text{1},\text{0},\text{0},\text{0}{)}^{\mathrm{\top }}$, 同时，由于原行列式的第 $1$ 列有三个取值为 $1$ 的元素，第 $2$ 列有三个取值为 $1$ 的元素，第 $3$ 列有三个取值为 $1$ 的元素，所以，我们在原行列式的最顶部扩展一行 $(\text{1},\text{1},\text{1},\text{1})$, 即：

$$\begin{array}{r}\left|\begin{array}{c}D\end{array}\right|\\ \\ =& \left|\begin{array}{ccccc}\text{1}& \text{1}& \text{1}& \text{1}& \text{1}\\ \text{0}& 1+a& 1& 1& 1\\ \text{0}& 1& 1-a& 1& 1\\ \text{0}& 1& 1& 1+b& 1\\ \text{0}& 1& 1& 1& 1-b\end{array}\right|\\ \\ & \Rightarrow \text{ 第 2,3,4,5 行依次减第 1 行 }\\ \\ =& \left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\\ -1& a& 0& 0& 0\\ –1& 0& -a& 0& 0\\ –1& 0& 0& b& 0\\ –1& 0& 0& 0& -b\end{array}\right|\end{array}$$

Note

在接下来的运算中，我们让令上面这个行列式的第 $1$ 列，由 $\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -1\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ 变成 $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$——这一运算过程中，会用到《矩阵/行列式消 $0$ 的一个优化策略》这篇文章中首次提出的方法。

zhaokaifeng.com

当 $ab\ne 0$ 时（即 $a\ne 0$ 且 $b\ne 0$），有：

$$\begin{array}{r}\left|\begin{array}{c}D\end{array}\right|\\ \\ =& \left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\\ -1& a& 0& 0& 0\\ -1& 0& -a& 0& 0\\ -1& 0& 0& b& 0\\ -1& 0& 0& 0& -b\end{array}\right|\\ \\ \Rightarrow & \mathrm{第}1\mathrm{列}\mathrm{加}\mathrm{上}\mathrm{第}2\mathrm{列}\mathrm{的}\frac{1}{a}\mathrm{倍}\\ \\ =& \left|\begin{array}{ccccc}1+\frac{1}{a}& 1& 1& 1& 1\\ 0& a& 0& 0& 0\\ -1& 0& -a& 0& 0\\ -1& 0& 0& b& 0\\ -1& 0& 0& 0& -b\end{array}\right|\\ \\ \Rightarrow & \mathrm{第}1\mathrm{列}\mathrm{减}\mathrm{去}\mathrm{第}3\mathrm{列}\mathrm{的}\frac{1}{a}\mathrm{倍}\\ \\ =& \left|\begin{array}{ccccc}1+\frac{1}{a}–\frac{1}{a}& 1& 1& 1& 1\\ 0& a& 0& 0& 0\\ 0& 0& -a& 0& 0\\ -1& 0& 0& b& 0\\ -1& 0& 0& 0& -b\end{array}\right|\\ \\ \Rightarrow & \mathrm{第}1\mathrm{列}\mathrm{加}\mathrm{上}\mathrm{第}4\mathrm{列}\mathrm{的}\frac{1}{b}\mathrm{倍}\\ \\ =& \left|\begin{array}{ccccc}1+\frac{1}{a}–\frac{1}{a}+\frac{1}{b}& 1& 1& 1& 1\\ 0& a& 0& 0& 0\\ 0& 0& -a& 0& 0\\ 0& 0& 0& b& 0\\ -1& 0& 0& 0& -b\end{array}\right|\\ \\ \Rightarrow & \mathrm{第}1\mathrm{列}\mathrm{减}\mathrm{去}\mathrm{第}5\mathrm{列}\mathrm{的}\frac{1}{b}\mathrm{倍}\\ \\ =& \left|\begin{array}{ccccc}1+\frac{1}{a}–\frac{1}{a}+\frac{1}{b}–\frac{1}{b}& 1& 1& 1& 1\\ 0& a& 0& 0& 0\\ 0& 0& -a& 0& 0\\ 0& 0& 0& b& 0\\ 0& 0& 0& 0& -b\end{array}\right|\\ \\ =& \left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\\ 0& a& 0& 0& 0\\ 0& 0& -a& 0& 0\\ 0& 0& 0& b& 0\\ 0& 0& 0& 0& -b\end{array}\right|\\ \\ =& \left|\begin{array}{ccccc}\cancel{1}& \cancel{1}& \cancel{1}& \cancel{1}& \cancel{1}\\ \cancel{0}& a& 0& 0& 0\\ \cancel{0}& 0& -a& 0& 0\\ \cancel{0}& 0& 0& b& 0\\ \cancel{0}& 0& 0& 0& -b\end{array}\right|\\ \\ =& \left|\begin{array}{cccc}\text{a}& 0& 0& 0\\ 0& \text{-a}& 0& 0\\ 0& 0& \text{b}& 0\\ 0& 0& 0& \text{-b}\end{array}\right|\\ \\ =& {\mathit{a}}^{\mathbf{2}}{\mathit{b}}^{\mathbf{2}}\end{array}$$

当 $ab=0$ 时，说明 $a=0$ 或者 $b=0$, 且 $a^2{b}^2=0$.

这里假设仅有 $a=0$（其他情况结果相同）, 则：

$$\begin{array}{r}\left|\begin{array}{c}D\end{array}\right|\\ \\ =& \left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\\ -1& a& 0& 0& 0\\ -1& 0& -a& 0& 0\\ -1& 0& 0& b& 0\\ -1& 0& 0& 0& -b\end{array}\right|\\ \\ =& \left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\\ -1& 0& 0& 0& 0\\ -1& 0& 0& 0& 0\\ -1& 0& 0& b& 0\\ -1& 0& 0& 0& -b\end{array}\right|\\ \\ =& \left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ -1& 0& 0& b& 0\\ -1& 0& 0& 0& -b\end{array}\right|\\ \\ =& \mathbf{0}={\mathit{a}}^{\mathbf{2}}{\mathit{b}}^{\mathbf{2}}\end{array}$$

综上可知：

$$\left|\begin{array}{c}D\end{array}\right|\mathbf{=}{\mathit{a}}^{\mathbf{2}}{\mathit{b}}^{\mathbf{2}}$$

例题二

题目

$$\begin{array}{r}\left|\begin{array}{c}D\end{array}\right|\\ \\ =& \left|\begin{array}{ccc}a+b+2c& b& a\\ c& a+c+2b& a\\ c& b& b+c+2a\end{array}\right|=?\end{array}$$

难度评级：

解析

在本题中，我们采用升阶的方式完成对行列式 $\left|\begin{array}{c}D\end{array}\right|$ 的求解：在原行列式的最左侧扩展一列 $(\text{1},\text{0},\text{0},\text{0}{)}^{\mathrm{\top }}$, 同时，由于原行列式的第 $1$ 列有两个取值为 $c$ 的元素，第 $2$ 列有两个取值为 $b$ 的元素，第 $3$ 列有两个取值为 $a$ 的元素，所以，我们在原行列式的最顶部扩展一行 $(\text{1},\text{c},\text{b},\text{a})$, 即：

$$\begin{array}{r}\left|\begin{array}{c}D\end{array}\right|\\ \\ =& \left|\begin{array}{ccc}a+b+2c& b& a\\ c& a+c+2b& a\\ c& b& b+c+2a\end{array}\right|\\ \\ =& \left|\begin{array}{cccc}\text{1}& \text{c}& \text{b}& \text{a}\\ \text{0}& a+b+2c& b& a\\ \text{0}& c& a+c+2b& a\\ \text{0}& c& b& b+c+2a\end{array}\right|\\ \\ \Rightarrow & \text{ 第 2,3,4 行依次减第 1 行 }\\ \\ =& \left|\begin{array}{cccc}1& c& b& a\\ -1& a+b+c& 0& 0\\ -1& 0& a+b+c& 0\\ -1& 0& 0& a+b+c\end{array}\right|\end{array}$$

于是，当 $a+b+c$ $\ne$ $0$ 时，有：

$$\begin{array}{r}\left|\begin{array}{c}D\end{array}\right|\\ \\ =& \left|\begin{array}{cccc}1& c& b& a\\ -1& a+b+c& 0& 0\\ -1& 0& a+b+c& 0\\ -1& 0& 0& a+b+c\end{array}\right|\\ \\ \Rightarrow & \mathrm{第}1\mathrm{列}\mathrm{加}\mathrm{上}\mathrm{第}2\mathrm{列}\mathrm{的}\frac{1}{a+b+c}\mathrm{倍}\\ \\ =& \left|\begin{array}{cccc}1+\frac{c}{a+b+c}& c& b& a\\ 0& a+b+c& 0& 0\\ -1& 0& a+b+c& 0\\ -1& 0& 0& a+b+c\end{array}\right|\\ \\ \Rightarrow & \mathrm{第}1\mathrm{列}\mathrm{加}\mathrm{上}\mathrm{第}3\mathrm{列}\mathrm{的}\frac{1}{a+b+c}\mathrm{倍}\\ \\ =& \left|\begin{array}{cccc}1+\frac{c}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}& c& b& a\\ 0& a+b+c& 0& 0\\ 0& 0& a+b+c& 0\\ -1& 0& 0& a+b+c\end{array}\right|\\ \\ \Rightarrow & \mathrm{第}1\mathrm{列}\mathrm{加}\mathrm{上}\mathrm{第}4\mathrm{列}\mathrm{的}\frac{1}{a+b+c}\mathrm{倍}\\ \\ =& \left|\begin{array}{cccc}1+\frac{c}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}& c& b& a\\ 0& a+b+c& 0& 0\\ 0& 0& a+b+c& 0\\ 0& 0& 0& a+b+c\end{array}\right|\\ \\ =& \left|\begin{array}{cccc}1+\frac{c+b+a}{a+b+c}& c& b& a\\ 0& a+b+c& 0& 0\\ 0& 0& a+b+c& 0\\ 0& 0& 0& a+b+c\end{array}\right|\\ \\ =& \left|\begin{array}{cccc}1+\frac{a+b+c}{a+b+c}& c& b& a\\ 0& a+b+c& 0& 0\\ 0& 0& a+b+c& 0\\ 0& 0& 0& a+b+c\end{array}\right|\\ \\ =& \left|\begin{array}{cccc}2& c& b& a\\ 0& a+b+c& 0& 0\\ 0& 0& a+b+c& 0\\ 0& 0& 0& a+b+c\end{array}\right|\\ \\ =& 2\left|\begin{array}{ccc}a+b+c& 0& 0\\ 0& a+b+c& 0\\ 0& 0& a+b+c\end{array}\right|\\ \\ =& \mathbf{2}\mathbf{(}\mathit{a}\mathbf{+}\mathit{b}\mathbf{+}\mathit{c}{\mathbf{)}}^{\mathbf{3}}\end{array}$$

当 $a+b+c$ $=$ $0$ 时：

$$\begin{array}{r}\left|\begin{array}{c}D\end{array}\right|\\ \\ =& \left|\begin{array}{cccc}1& c& b& a\\ -1& a+b+c& 0& 0\\ –1& 0& a+b+c& 0\\ –1& 0& 0& a+b+c\end{array}\right|\\ \\ =& \left|\begin{array}{cccc}1& c& b& a\\ -1& 0& 0& 0\\ -1& 0& 0& 0\\ -1& 0& 0& 0\end{array}\right|\\ \\ =& \left|\begin{array}{cccc}1& c& b& a\\ -1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right|\\ \\ =& \mathbf{0}=\mathbf{2}\mathbf{(}\mathit{a}\mathbf{+}\mathit{b}\mathbf{+}\mathit{c}{\mathbf{)}}^{\mathbf{3}}\end{array}$$

综上可知：

$$\left|\begin{array}{c}D\end{array}\right|\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{(}\mathit{a}\mathbf{+}\mathit{b}\mathbf{+}\mathit{c}{\mathbf{)}}^{\mathbf{3}}$$

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